二次函数公式(精华)

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★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数yax2的性质

（a0）(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图

像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

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4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

b4acb2. h，k

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb22

（，）(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称

2a4a4a2a

b

轴是直线x.

2a

2

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

x

b,故： 2a

a

2

①b0时，对称轴为y轴；②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； ③b

a

0(即a、b

异号)时,对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

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当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0， c)：①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

b

0. a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴

x0(y轴) yax2

x0(y轴) yax2k 当a0时 开口向上

2

yaxhk 当a0时

开口向下

yax2bxc

2

yaxh

顶点坐标 (0,0) (0, k) (h,0) (h,k)

b4acb2(，) 2a4a

xh

xh

bx

2a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点

的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根. (5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn

的解的数目来确定： 2

yaxbxc

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G

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