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正方体表面展开图的研究
正方体的表面展开图有4种类型,11种表现形式. 近几年中考题中多次出现,学生有时不知从哪方面入手. 下面我就正方体表面展开图的中考题类型及解题技巧做一下分析,供大家参考.
一、正方体表面展开图的判断
图1正方体中1和3是对面;2和4是对面;5和6是对面. 将正方体的表面沿某些棱剪开,展开成平面图形,需剪7刀,得到的平面展开图中周围有14条边长,共有11种展开图. 通过实践探索,按正方体表面展开图每行的正方形的个数多少可把其展开图分为4种类型.
1. “一、四、一”型. 如图2～图7所示,共有六种不同的形式. 规律:平面展开图共分上、中、下三层,中间有四个正方形,上、下两侧各有一个正方形(可以在任意位置).
2. “一、三、二”型. 如图8～图10所示,共有三种不同的形式. 规律:平面展开图共分上、中、下三层,第一层有一个正方形(可以在任意位置),中间一层有三个正方形,下面一层有两个正方形.
3. “二、二、二”型. 如图11所示,只有一种形式.规律:平面展开图共分上、中、下三层,每层各有两个正方形.
4. “三、三”型. 如图12所示,只有一种形式. 规律:平面展开图共分两层,每层各有三个正方形.
还需记住在正方体展开图中不可能出现如图13几种图形:“1”字形;“田”字形;“凹”字形;“7”字形.
不可能是正方体展开图的原因:“1”字形图形折叠后会有重合的面,并且折叠后得到的将少一组对面;在正方体中同一个顶点处有且只有三个面,故展开图中不可能在同一顶点处出现四个面的“田”字形;“凹”字形折叠起来将有面重合现象;“7”字形也一样,折叠后将出现面重合的现象.
掌握了正方体展开图的四种类型及其包含的11种形式,还有正方体展开图中不可能出现的几种图形,我们再做有关正方体表面展开图的判断题就很容易了.
二、相对面的判断
通过观察图2至图12,11种正方体表面展开图的对面发现:在正方体的表面展开图若出现下列图14的基本图形,则两个黑的正方形就是对面.
在同一层上的两个正方形中间若隔一个正方形,则这两个正方形必定是相对面(图14中的第一个图);不在同一层的两个正方形若是相对面,则属于图14中的后面三种情形的两黑面.
三、相邻面的判断
如图15,正方体表面展开图中两个正方形若有公共边或公共点,则是相邻面;同一层中中间相隔两个正方形的两个正方形是相邻面;在同一顶点处出现的三个正方形折叠后必是在同一顶点处出现的三个面. 如图15最后一个图中A,B,C是相邻面.
四、重合点的判断
正方体共有八个顶点,先从正方体的表面图中找 基本图形中的A(A顶点处有三个正方形,故A点与本身重合),有几个这样的基本图形都找出来,用不同的字母或数字表示出来;再标出基本图形两旁的点 , A点两旁的B点也是重合点;最后再根据重合点两旁重合点对称规律排列. 例如图16:
五、例题分析
例1 如图17,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是.
解 正方体的表面展开图可以有两层或三层,当有一层是四个正方形时,只能符合“一、四、一”型的规律. 平面展开图共分上、中、下三层,中间有四个正方形,上、下两侧各有一个正方形(可以在任意位置). 而下一层的正方形位置已确定,上一层的一个正方形的位置可以在该层的四个位置中的任意位置,故能构成这个正方体的表面展开图的概率是.
例2 一个正方体的每个面都有一个汉字,其平面展开图如图18所示,那么在该正方体中和“毒”字相对的字是( )
A. 卫
B. 防
C. 讲
D. 生
解 从图中找到符合 和 基本图形的,黑的正方形是相对的面,易知道和“毒”相对的字为 “防”.
例3下列图中,是正方体展开图的为( )
AB C D
解 方法一:只有A符合正方体展开图四种类型中的其中一种“一、三、二”型,其他的都不符合,故选A. 方法二:用排除法. B中含有“田”字形; C中的两个正方形不可能在四个正方形的同侧;D中含有“凹”字形. 故选A.
例4 如图19是一个正方体的展开图,标注了字母A的面是正方体的正面,如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等,则x的值是______.
解 正方体的表面展开图与“数与式”相结合出题是中考命题的一个趋势. 该题的关键是判断出正方体的左面与右面. 从标注了字母A的面是正方体的正面知标注了-2的面是正方体的反面;标注了3的面是正方体的下面,标注了1的面是正方体的上面;正方体的左面与右面是标注了x2的面与标注了3x-2的面. 解得的值是1或2.
问题的关键还是从正方体表面展开图中找到
和 基本图形,找出相对面.
例5 图20①中,A为正方体的顶点,在另一顶点B处有一昆虫. 图20②、图20③是正方体的两个不同展开图,根据A,B位置的特点,请你在图20②、图20③中分别标出昆虫B的位置.
解 容易看出A点和B点不同时在正方体所有的六面内,在展开图上标出重合点,如图21所示. ④中与A可以同时在一个面上的点的有2、3、4、5、6、7. 故B点在图④上的1处. ⑤中与A可以同时在一个面上的点的有1、3、4、5、6、7. 故B点在图⑤上的2处.
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2022-04-07
