字典排列法和树形图知识点预习

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知识点拨

常见的计数方法——枚举法





（1）字典排列法：从首位开始，按一定的顺序（比如从小到大）枚举第一位，对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。

（2）分类枚举： 先有序分类，再有序枚举。

（3）树形图：确定起点，按照一定的顺序一一罗列，画出树状图，最后数终点个数。

总结：这三种计数方法都是枚举法中的一种，各种枚举法都需要有条理、不重复、不遗漏，一目了然。

例题精讲



【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？

【分析】三人情况：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0，每人至少有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀牙数是6。题中有三个人的名字，所以三个人是有次序的，我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。

汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2 杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5 得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比： 5 4 3 2 1

汤姆： 3 3 3 3 汤姆： 4 4 4 杰瑞： 1 2 3 4 杰瑞： 1 2 3 得鲁比：4 3 2 1 得鲁比：3 2 1

汤姆： 5 5 汤姆： 6 杰瑞： 1 2 杰瑞： 1 得鲁比：2 1 得鲁比：1

总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。

答案： 21

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【例2】下午茶的时候，老师给同学们准备了苹果，香蕉和橘子三种水果，每种都有足够多个，昊昊想挑3个水果吃，请问：他一共有多少中选择？

【分析】分类枚举： 先有序分类，再有序枚举。

一种水果：苹苹苹，香香香，橘橘橘

两种水果： 苹香香，苹苹香，苹橘橘，苹苹橘，香橘橘，香香橘 三种水果：苹香橘 一共：3+6+1=10（种）

答案: 10

【例3】一个人在三个城市A、B、C中游览。他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市。这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么这个人有几种旅游路线？

【分析】列出树形图如下，共有6种路线。





答案： 6

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