第四届中国东南地区高中数学奥林匹克竞赛试题(缺答案)

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第四届中国东南地区数学奥林匹克



第一天



（2007年7月28日， 8：00—12：00，湘江·镇海）



一、试求实数a的个数，使得对于每个a，关于x的三次方程都有满足

的偶数根



二、如图所示，设C、D是以O为圆心、AB为直径的半圆上的任意两点，过点B作圆O的切线交直线CD于P，直线PO与直线CA，AD分别交于点E，F，证明：OE=OF。

三、设



四、试求最小的正整数n，使得对于满足条件

，其中必有连续若干项之和等于30。

的任一个具有n项的正整数数列

试求

的值

第四届中国东南地区数学奥林匹克



第二天



（2007年7月28日， 8：00—12：00，湘江·镇海）



五、设函数

证明：当

满足：时，有



，且当

时有

，



六、如图，在直角三角形ABC中，D是斜边AB 的中点，

证明：

，MD交于AC于M；MC的延长线交AB于E。






七、试求满足下列条件的三组元数组 （1） （2）

八、设正实数

且

为质数； 构成等比例数列



满足：



求证：对于整数，有

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