极坐标系中的常用方法

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极坐标系中的常用方法

浙江省诸暨中学（311800） 赵岳云

在极坐标系中，由于点的极坐标,有着十分明显的几何意义，因此，在解决问题过程中，合理应用几何意义，联系与之有关的几何性质，不仅可以提高我解决问题的能力和速度，更重要的是可以培养我们的思考问题的能力，还会开拓我们的视野，丰富我们的智慧。

如：如图，过点P,





22

于点B2,任意作一直线交极轴Ox于点A1,0，交直线，333

其中,1,2R，求证：

1





1

1



1

2



这是一个常见的问题，解决它也不是一件费心的事，但

我们不停留的只解决问题的层面上，而是从联系的观点看问题，从创新的角度思考问题，我们也不会满足一种解法了。

方法一：应用面积公式

∵在极坐标系中，若点A、B的坐标分别为1,1、

2,2则ΔAOB的面积S=

∴SAOP

12

12

12|sin(12)|

3434

1sin



3



1

SBOP

1212

2sin



3



2

SAOB12sin

23



34

12

而SAOB=SAOP+SBOP1212 ∴

111



12



方法二：应用余弦定理

∵在极坐标系中，若点

|AB|12212cos1(2)

2

2

2

A、B的坐标分别为

1,1

、

2,2

，则

如图可知：|AP|121cos

|BP|2

2

2

2

2

2

222



3

2

12

2

22

1

22cos



|AB|12212cos

2

3

23

2

2

2

1212


而|AB|=|AP|+|PB|化简（过程较繁）可得

方法三：应用正弦定理 设OAP 则在ΔAOB中

sin(

1





1

1



1

2



1

3)



2

sin



12



32

tan

12



同理在ΔAOP中

sin(

1

23)





sin



1



32

tan

12



∴

1



12

1即

1





1

1



1

2



方法四：应用角平分线定理 ∵OP是AOB的平分线，∴

|OA||OB|

|AP||PB|



由上知：

1

22

2



1122

111

2

2

22



∴化简可得



12



方法五：利用相似三角形的性质

如图，过点B作BC||OP交Ox的反向延长线于C，显然OBC为正三角形， ∴|OC|=|OB|=|BC|=2 又ΔAOP∽ΔACB ∴

|OP||CB|

|AO||AC|



2



112



即

1





1

1



1

2



方法六：应用直线方程

3(213)

sincos1 先记点P的坐标为3,求得过点P、A的直线的极坐标方程为

333

∵点B2,





1111112

就是 在直线上，代入化简可得312123

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