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动点最值问题解法探析
一、问题原型：
如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线〞问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上〔线路长度不变〕，确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：
(
在线段
上时取等号)〔如图1-2〕
、
两镇供气，泵站修在管道的什
线段和最小，常见有三种类型：
〔一〕“|定动|+|定动|〞型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点与另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短〞可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点
关于动点
所在直线的对称点位置，最小距离和
，线段。
是
的中点，
是
〔
是另一定点〕
与的交点即为距离和最小时动点
例1〔20XXXX省中考题〕如图2，正方形的边长为，
对角线上一动点，则的最小值是。解析：与关于直线
对称，连结则
，则。连结
,在中，，，
.
.
故
例2 〔20XXXX市中考题〕如图3，已知：抛物线为
，与轴交于
、
两点，与轴
交于点
，其中
的最小值为
的对称轴
，。
〔1〕
求这条抛物线的函数表达式； 〔2〕已知在对称轴上存在一点解析：〔1〕对称轴为
，，使得
的周长最小，请求出点，由对称性可知：
的坐标。 、
、
。根据
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
〔2〕
与
关于对称轴
对称，连结
，
与对称轴交点即为所求
点。
设直线解析式为：。把、代入得，。
当时，
2.两个定点+两个动点。
，则
两动点，其中一个随另一个动〔一个主动，一个从动〕，并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点〞类型来解。
例3 如图4，河岸两侧有
、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，
桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
.
.
解析：设桥端两动点为直于河岸。
将
向上平移河宽长到为平行四边形，
来往
、
两村最短路程为：
、，那么点随点而动，等于河宽，且垂
，线段与XX岸线的交点即为桥端点位置。四边形值最小。那么
，此时
。 的顶点，
为边
例4(20XXXX市中考)在平面角坐标系中，矩形分别在轴、〔1〕若〔2〕若求点
，
轴的正半轴上，
上的一个动点，当为边
上的两个动点，且
，
在坐标原点，顶点的中点。
的坐标；
、
为边，
的周长最小时，求点
，当四边形
的周长最小时，
的坐标。
解析：作点〔1〕连接
关于轴的对称点交轴于点
，连接
，则，此时
，
的周长最小。由
。
可知〔2〕将
，那么
向左平移2个单位〔
、
到动点
〕到
，则点，定点
、
。
分别到动点
、
的距
离和等于为定点的距离和，即。从而把“两个定
点和两个动点〞类问题转化成“两个定点和一个动点〞类型。
在
上截取。此时
，连接
交轴于
，四边形
为平行四边形，的周长最小。
值最小，则四边形
由、可求直线解析式为，当时，，即，
则。〔也可以用〔1〕中相似的方法求坐标〕
.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/57b3ec17eb7101f69e3143323968011ca200f756.html
2022-07-09
