什么是数学模型

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什么是数学模型?

数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。 数学模型思想？

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系

和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性。即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济，物理，农业，生物，社会学等领域的应用，所构造的数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显的区分开来，本文主要从狭义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。

教学中是如何渗透模型思想？ 例：



数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程。从这个角度而言，伴随着数学知识的产生和发展，数学模型实际上也随后产生和发展了。如自然数系统1,2,3…是描述离散数量的数学模型。2000多年前的古人用公式计算土地面积，用方程解决实际问题等，实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决实际问题等，实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决数学问题的。就小学数学的应用来说，大多数是古老的初等数学知识的简单应用，也许在数学家的眼里，这根本就不是真正的数学模型；不过小学数学的应用虽然简单，但仍然是现实生活和进一步学习所不可缺的。小学数学中的模型如下表。 知识领域



知识点



应用举例

自然数列：0,1,2，…. 用数轴表示数 a+b=c

数 与 代

数的表示 数的运算




数 C-a=b,c-a=b

a×b=c(a≠0,b≠0) c÷a=b,c÷b=a

方程

a+b=c

时间、速度和路程：s=vt 数量、单价和总价;a=np

数量关系

正比例关系;y/x=k 反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系



例：

充分感知，积累表象，培育建模的基础。数学模型关注的对象是许多具有共同普遍性的一类事物，因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知这类事物的特征或数量相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。如一年级“凑十法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先通过探究学习9加几的算法，初步了解凑十法。接着采取“半扶半放”的方式学习“8、7加几”的算法。进一步感知凑十法更广的适用范围。最后，学习6、5、4加几，运用凑十法灵活解决相关计算问题。学生经历了观察、操作、实践、讨论，体验到了“凑十法”的内涵，为形成“凑十法”的模型奠定了坚实的基础，提供了充分的准备。 例：

组织跃进，抽象本质，完成模型的构建。实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡，是数学教学的任务之一。但要注意的是，具体生动的情境问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视从具体到抽象的跃进过程的有效组织，那就不成其为建模。如四年级上册“平行与相交”，如果只是让学生感知火车铁轨、跑道线、双杠、五线谱等具体的素材，而没有透过现象看本质的过程，当学生提取“平行线”的模型时，呈现出来的一定是形态各异的具体事物，而不是具有一般意义的数学模型。而“平行”的数学本质是“同一平面内两条直线间距离保持不变”，教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直线及直线间的宽度（距离）。可以让学生通过如下活动来组织跃进过程：①提出问题：为什么两条直线永远不相交呢？②动手实验思考：在两条平行线间作垂线。量一量这些垂线的长度，你发现了什么？你知道工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗？经历这样的学习过程，学生对平行的理解必定走向半具体半抽象的模型，从而构建起真正的数学认识。在这一过程的组织中，教师要引导学生通过比较、分析、综合、归纳、操作等思维活动，将本质属性抽取出来，构成研究对象本质的关键特征，使平行线完成从物理模型到直观的数学模型，再到抽象的数学模型的建构过程。

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