自主招生排列组合二项式定理专题选讲

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排列组合二项式定理选讲

授课教师：陈小刚

一、环排列问题

1.从n个不同元素中任取m(1mn)个元素，按照圆圈排列，这种排列叫做从n个元素里取m个元素的环排列.

2.在环排列中，如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个m个元素的环在m 个不同的位置拆开，即得个m不同的线排列。由于n

m个不同元素中任取m个元素的排列方法An种，所以n个不同元素中任取m个m

An

元素的环排列方法有种。

m

环排列简单结论

nAn

(n-1)!种 1.n个不同元素的环排列方法有n

mAn

2.所以n个不同元素中任取m个元素的环排列方法有种

m

二、不尽相异的m个元素的全排列

在m个元素中，有n1个元素相同，又另有n2个元素相同,…，一直到另有nr 个元素相同,且n1n2nrm这m个元素的全排列叫做不尽相异的m个元素的全排列，不难得到，此全排列数计算公式为：X

三、错排列

设集合I={1,2, …,n},所有元素的一种全排列t1,t2,,tn，满tii(i1,2,,n) 称这样的排列为错位全排列，用Dn表示I={1,2, …,n},错位全排列的总数，则

Dnn!(1

1111

(1)n) 1!2!3！n!

m!



n1!n2!nr!

(范德蒙公式）

C

k0

q

k

nqkqCmCmn








例1.（1）五名儿童站成一排拍照片，有几种不同的站法？ （2）五名儿童站成一圈跳集体舞，有几种不同站法？

例2.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732种栽种方案



解：考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有A43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．

例3.由 1、1、1、2、2 可以排成多少个不同的五位数。

例4．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？





例5.五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？



（2009华南理工）在(1x)2nx(1x)2n1xn(1x)n的展开式中，xn 的系数为__________






(2008上海交大) (1x)(1x)2(1x)98(1x)99中， x3的系数为________



(2010同济)若多项式，x2x10a0a1(1x)a9(1x)9a10(1x)10则 a9________





（2009复旦）设有n+1个不同颜色的球，放入n个不同的盒子，要求每个盒子至少放一个球，则不同的放法有___________种。



(2006武大)设an是等差数列，从a1，a2，a3，，a20中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有_______个。

(2003上海交大)有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有________种分法。

（2004复旦）12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有_______中取法；若要从中取出6只恰好能形成2双，有_______中取法。 （2011卓越）数列an共有11项，a10，a114,且ak1ak1,k1,2,,10. 满足这种条件的不同数列的个数（ ） . 100 B.120 C.140 D.160

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