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湖南省2002年高中数学竞赛
试题及解答
2002.9.7 9：00-11;00
说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只设6分及0分两档.其他各题评阅请严格依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分档次,给予相应的分数.
一 选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.) 1．定义在实数集R上的函数y=f（-x）的反函数是yf（A）y=f（-x）是奇函数 （B）y=f（-x）是偶函数
（C）y=f（-x）既是奇函数，也是偶函数
（D）y=f（-x）既不是奇函数，也不是偶函数 2．二次函数f(x)axbxc的图象如图所示。记
N=|a+b+c|+|2a-b| M=|a-b+c|+|2a+b|， 则（ ）
（A） M＞N （B）M=N
（C） M＜N （D）M，N的大小关系不能确定
3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（ ） （A） 4或5或6或7 （B） 4或6或7或8 （C） 6或7 或8 （D） 4或5 或6
4．ABC中，若（sinA+sinB）（cosA+cosB）=2sinC，则（ ） （A） △ABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 （B） △ABC是直角三角形但不一定是等腰三角形 （C） △ABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 （D） △ABC既是等腰三角形也是直角三角形
5．△ABC中，∠C=90O，若sinA，sinB是一元二次方程xpxq0的两个根，则下列关系中正确的是（ ）
2
2
1
(x)，则
6．已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另一焦点的轨迹为（）。
（A）双曲线 （B）椭圆 （C）椭圆的一部分 （D）双曲线的一部分 二、填空题（本题共6个小题，每小题6分，满分36分。）
7．满足条件{1，2，3}X|1，2，3，4，5，6|的集合X的个数为————————。
a2x2
8．函数f(x)是奇函数的充要条件是————————————
|xa|a
9．在如图所示的六块地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只咱其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则共有种蔬菜的方案数为—————。
10．定义在R上的函数y=f（x），它具有下述性质： （Ⅰ）对任何x∈r，都有f（x3）=f 3（x），
（Ⅱ）对任何x1，x2∈R，x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2） 则f（0）+f（1）+f（-1）的值为————。
11．已知复数z满足zzzz3,且arg(z1)
3
,则z=——————
三、解答题（本题共6个小题，满分78分。） 13．（本题满分12分），如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D中，E、F分别是棱AB与BC的中点。
（Ⅰ）求二面角B-FB1-E的大小； （Ⅱ）求点D到平面B1EF的距离； （Ⅲ）在棱DD1上能否找一点M，使BM ⊥平面EFB1若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由。 14．（本题满13分），设关于x的一元二次方程2x2-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β） （ Ⅰ ）若x1、x2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x1x2-t（x1+x2）-4＜0。‘ （Ⅱ）设f(x)
4xt
,f(x)在区间[,]上的最大值和最小值分别为fmax和fmin,g(t)fmaxfmin,求g(t)的最x21
小值。 15．（本题满分13分），已知a1=1，a2=3，an+2=（n+3）an+1-（n+2）an，若当m≥n，am的值都能被9整除，求n的最小值。 16．（本题满分13分），一台计算机装置的示意图如图，其中J1，J2表示数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J1，J2分别输入1，则输出结果1；
②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J1输入1，J2输入自然数n，则输出结果为多少 （Ⅱ）若J2输入1，J1输入自然数m，则输出结果为多少
（Ⅲ）若J1输入自然2002，J2输入自然数9，则输出结果为多少
17．（本题满分13分），以A为圆心，以2cos（
4
2
）为半径的圆外有一点B，已知|AB|=2sin，
设过点B且与圆外切于点T的圆的圆心为M。
（Ⅰ）当取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；
（Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最小值记为f（）（不要求证明），求f（）的取值范围。
（Ⅲ）若将题设条件中的的范围改为（0
4
），点B的位置改为圆A内，有相同结构的有意义b、c，其体对角线长为
其它条件不变，点M的轨迹记为P，试提出一个和（Ⅱ）具
的问题（不要求解答）
18．（本题满分14分），设长方体的长、宽、高分别为a、l，试证： (la)(lb)(lc)512abc
4
4
4
4
4
4
4
4
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/560f56e4ee3a87c24028915f804d2b160b4e8635.html
2022-03-21
