空间点线面的位置关系及公理

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1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行直线共面直线

相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点







(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)． π②X围：0，2.

(]

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

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4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．



[知识拓展]

1．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

[思考辨析]

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.((2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )

(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )

(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( )

(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( )



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)


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1．下列命题正确的个数为( )

①梯形可以确定一个平面；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．(2016·XX)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )

A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n

3．(2016·XX质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．









5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

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