三阶循环数列的通项公式

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三阶循环数列的通项公式



数列若形如r,s,t, r,s,t, r,s,t, r,s,t, r,s,t, r,s,t,………则我们称其为三阶循环数列。

如何求它的通项公式呢？

我们可以这样思考：将它看成三个数列的和：

an=bn+cn+dn, 其中，bn＝r,,0,0, r,0,0, r,0,0, ………, cn＝0,,s,0,

0,s,0, 0,s,0, ………, 1,0,0, 1,0,0, ………,

dn＝0,,0,t, 0,0,t, 0,0,t, ………,而1bn＝1,0,0,

r

1s

cn＝0,1,0, 0,1,0, 0,1,0, ………, 1d＝0,0,1, nt

0,0,1, 0,0,1, ………,于是问题转化为求1,0,0和0,1,0与0,0,1三个数列的表达式。

观察周期为3的函数，有sinnπ,cosnπ,tannπ,前3项分别是

1133

，－，0; , ,1;3,－3,0,显然，我们有足够的办法将其

2222

2

32313

变成1,0,0和0,1,0与0,0,1三种类型。我们选取一例: rcos rcos

22n2r（rcosπ+）：r,,0,0, r,0,0, r,0,0, ………, 332

2n2r3r3r

π+：，0,0, ，0,0, ……… 32222n2rrrr

π: r, －，－，r, －，－，……… 32222





1


同样地，（scos

同样地：（tcos2232n2s

π+）：0,,s,0, 0,s,0, 0,s,0, ………, 32

2ntπ+）：0,,0,t, 0,0,t, 0,0,t, ……… 3



故：an=2

3

32

rcos

2n22n22nr3π+scos3π+tcos3π+st

2

）

2

（

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