微分方程公式总结

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第四章 微分方程



g(y)dyf(x)dx

1.可分离变量的微分方程 初值问题

yxx0y0

的解为



y

y0

g(y)dyf(x)dx

x0

x

dy

P(x)yQ(x) 的通解公式为2.一阶线性微分方程 dx

ye

P(x)dx

P(x)dx(Q(x)edxC)

dy

P(x)yQ(x)

3.初值问题 dx 的解为

yxx0y0

yex0



x

P(x)dx

(Q(x)e

x0

x

x0P(x)dx

x

dxy0)

dyyydydu() uyux于是有ux 4.齐次型方程

xdxdxdxx

便得到ux

du

(u)这是一个可分离变量的微分方程。 dx

dudx

分离变量后积分

(u)ux

dyaxbyca1b1

其中 5.可化为齐次型的方程

dxa1xb1yc1ab

当cc10时方程是齐次型的，否则是非齐次型的。在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的.作代换

xXh,yYk

ahbkc0dYaXbY(ahbkc)

 再令 可定出h和k

a1hb1kc10dXa1Xb1Y(a1hb1kc1)

dy

P(x)yQ(x)y (0,1) 6.伯努利方程 dx


作代换zy1 则

dzdy(1)y ,于是有 dxdx

dz

(1)P(x)z(1)Q(x) ，这是一阶线性方程。 dx

7.可降阶的二阶微分方程 （1） y''f(x)

（2) y''f(x,y') 设y'p 那么y''

dp

p' 从而方程就化为dx

p'f(x,p) 这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。如果我们求出

它的通解为y'p(x,C1),那么再通过积分，可得原方程的通解

y(x,C1)dxC2

dpdpdydpp(3） y''f(y,y') 设y'p y'' dxdydxdy

从而方程就化为p

dp

f(y,p) 这是一个关于变量y,p的一阶微分dy

方程。如果我们求出它的通解y'p(x,C1) 那么分离变量并两端

dy

xC2 积分,可得原方程的通解为(y,C1)

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