08浙江大学考研高等代数真题

2023-02-21 10:29:14 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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浙江大学08 研究生考试

高等代数

1. 假如1，2，3是多项式f(x)x3x2x1的根，g(x)x2x1，求一个有

理系数多项式p(x)使得g(1)，g(2)，g(3)成为它的根.

2nn

2. 设n2是整数，b是任意复数，证明方程x2xb0不能有不为零的且重数大

于2的根.

1

x1

3. 假设D1

1x2

ix2



1xn

ixn

x2

2x2

xn

2

xn

x1

，Dix1

i2

x12x

n1



x

n2

i2i2

，ix2xn

2,3,,计

x

n

n

x1ix1n



nx2



nxn

算



n

i1

Di.

y1x1

x2y2

4. 设X，Y，XTY,AEXYT.





yx

nn

1

(1) 当1时，证明A是可逆矩阵，并且求出它的逆矩阵A.

(2) 当1时，证明A一定相似于一个对角矩阵. 5. 假设Aaij



n*n

是正定矩阵，证明它的行列式满足Aa11a22ann，且等号成立的充

分必要条件是A为对角矩阵.

6. 设A，B都是n阶矩阵。求证：AB与BA有相同的特征多项式.

7. 设A为n阶矩阵。若存在正整数m使A0，则称A为n阶幂零矩阵。现设A为n阶

幂零矩阵，E为n阶单位矩阵，B为n阶可逆矩阵。（i）（ii）

求证：EA1;

若ABBA,求证：BAB.

r1m

8. 设n阶幂零矩阵A的秩为r，求证：A9. 已知实对称矩阵

.

21111211

A1121

1112

求正交矩阵P,使PAP成对角阵.

10.设,是n维欧氏空间V上的对称变换，且。求证：存在V的一组标准正交基，使得在这组基下与的矩阵成对角形矩阵.

1