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《近世代数》课程教学大纲
MODERN ALGEBRA
〔2009年10修订,潘庆年执笔〕
一、课程的适用专业、学时及学分
本课程的适用专业为：数学与应用数学专业,68学时,4学分.
二、课程的性质、目的和任务
近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课,是现代数学的重要基础之一.通过本课的学习,能够使学生掌握群、环、域的基础知识,深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法,同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质,特殊元素,特殊子对象,商对象,同态同构,为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证,加深对中等数学中代数体系的理解.
三、与其它课程的联系
本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础,对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助.
四、课程的基本内容、重点及难点
〔一〕基本概念 1、集合及其运算.
2、映射,映射的合成,一一映射,可逆映射击,一一映射与可逆映射的关系. 3、代数运算及其运算律. 4、同态,同构,自同态,自同构.
5、等价关系,集合元素的分类,二者的关系. 重点及难点：同态、同构等价关系与集合元素的分类
〔二〕群
1、群的定义及其等价条件. 2、群的同态及其性质. 3、变换群,Cayley定理.
4、置换群,置换的循环表方法,交代群.
5、循环群,整数加群Z和模n剩余类加群Zn,结构定理. 6、子群及子群的陪集,Lagrange定理. 7、不变子群,商群,同态基本定理.
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重点及难点：群的定义,循环群与置换群,不变子群与商群,同态基本定理.
〔三〕环与域
1、环的定义及简单性质,几类常用的环的实例. 2、交换律,单位元,可逆元,零因子,正那么元,整环. 3、除环和域,四元数除环,域中元的运算. 4、无零因子环的特征.
5、子环,环的同态及同态映射的性质. 6、多项式环,同态及代入法,未定元的存在性. 7、理想,剩余类〔商〕环,同态基本定理. 8、极大理想,域的构作.
9、分式域的存在条件及其构作方法
重点与难点：环〔域〕的概念,几类常用环的性质,理想与商环,同态及同态基本定理.
〔四〕整环的因子分解理论
1、整除,因子与平几因子,相伴元,素元,唯一分解. 2、唯一分解环及其等价条件,最大公因子,互素. 3、主理想环,升链条件,极大理想与素元的关系. 4、欧氏环、唯一分解环、主理想环及其之间的关系. 5、多项式环的因子分解,根. 重点与难点：素元,唯一分解问题.
〔五〕扩域
1、扩域,素域,最小扩域F〔S〕的构造及其性质.
2、代数元与超越元,单代数扩域的同构定理,单超越扩域的同构定理. 3、代数扩域,有限扩域,二者的关系 4、多项式的分裂域,存在及其唯一性. 5、有限域,有限域的阶,多项式xq-x的分裂域.
重点与难点：单扩F〔α〕的同构定理,代数扩域,分裂域的存在及唯一,有限域的性质.
五、学时分配表
章节 主要内容 一 二 三 四
基本概念 群论 环与域
各教学环节学时分配表
讲授 实验 讨论 习题 课外 其它 小计 8 17 17
2 3 3 2
10 20 20 12
备注
整环里的因子分解 10
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/513f39b4d2f34693daef5ef7ba0d4a7302766cbe.html
2023-02-02
