分式方程解法

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分式方程意义及解法

1．解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程

2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根(即分母为0)。所以，必须验根。 产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．

检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去。

用去分母法解分式方程的一般步骤：

(i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答

例5：解方程：

。

分析：本 题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。

解：将原方程变形：

去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7, 移项：3x=7-4-9 合并同类项：3x=-6 系数化为1：x=-2 检验：把x=-2代入原方程

左边==2+=，

右边==，

∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。


随堂练习：

5x23

22

x(x1)x1 1、解方程：





2、解方程：

。



(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤：

(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答．

注意：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

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