含参数的一元二次方程

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解含参数的一元二次型不等式讨论策略

南昌十三中 周荣

分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点.解分类讨论问题，需要学生有一定的分析能力，一定的分类技巧，有利于对学生能力的考查.下面结合解关于含参数的一元二次型不等式时对参数讨论进行举例说明.

一、对二次项系数a的讨论：

若二次项系数x2项的系数a含有参数，则须对a的符号分类，即分a>0,a=0,a<0. 例3解关于x的不等式ax2+(1-a)x-1>0(a>-1)

解析：二次项系数含有参数,因此对a须在0点处分开讨论.若a≠0原不等式ax2+(1-a)x-1>0等价于1

(x-1)(ax+1)>0. 其对应方程的根为﹣与1.又∵a>-1，则

a

(1)当a=0时，原不等式为x-1>0，∴原不等式的解集为{x|x>1}. 11

(2)当a>0时，﹣<1，∴原不等式的解集为{x|x>1或x<-}.

aa11

(3)当-1<a<0时，﹣>1，∴原不等式的解集为{x|1<x<﹣}.

aa二、对判别式△的讨论

若判别式△=b2-4ac中含有参数，则须对判别式△的符号分类，即分△>0，△=0，△<0. 例2 解关于x的不等式2x2+ax+2>0

解析：由于判别式△=a2-16=(a-4)(a+4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即对a在-4点与4

点处分开讨论，则

①当a>4或a<-4时，△>0，方程2x2+ax+2=0的两根为：

11

x1=(-a-a2-16),x2=(-a+a2-16), 44

11

∴原不等式的解集为：{x|x<(-a-a2-16)或x>(-a+a2-16)}.

44a

②当a=±4时，△=0，原不等式解集为：{x|x≠﹣},

4③当-4<a<4时，当△<0，时，原不等式解集为R. 三、对根的大小的讨论

若不等式对应的方程的根为x1，x2中含有参数,则须对x1，x2的大小来分类，即分x1<x2,x1=x2,x1>x2. 例3解关于x的不等式x2-2x+1-a2≥0.




解：(x-1)2-a2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a与1﹣a. 由(1+a)-(1﹣a)=2a，得

①当a>0时，1+a>1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1+a或x≤1-a}. ②当a=0时，1+a=1-a，∴原不等式的解集为全体实数R.

③当a<0时，1-a>1+a，∴原不等式的解集为{x|x≥1-a或x≤1+a}. 四、即有对判别式讨论又有对根的大小的讨论 例3解关于x的不等式：axax10. 解：axax10. () （1）a0时，()10xR.

（2）a0时，则a4a0a0或a4，

2

2

2

aa24aaa24a

此时两根为x1，x2.

2a2a

aa24aaa24a

x①当a0时，0，()；

2a2a

②当4a0时，0，()xR； ③当a4时，0，()xR且x

1

； 2

aa24aaa24a

或x④当a4时，0，()x.

2a2aaa24aaa24a

综上，可知当a0时，解集为(,)；

2a2a

当4a0时，解集为R； 当a4时，解集为(,

11

)(,); 22

aa24aaa24a

,). 当a4时，解集为(,)(

2a2a

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