高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章 拓展资料：囚徒困境与数学期望

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囚徒困境与数学期望

著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖．在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”．

有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯．如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年．请问他们将作何种选择？

我们不妨将二人称为甲、乙，在二人无法串供时每人都会选择有利于自己的行为．在不知对方态度的前提下，某一方只能认为对方招供与否是等可能的，于是我们可以利用数学期望对其中的利弊加以分析： 若甲选择不招供，他的刑期数学期望为 E10105年；

若甲选择招供，他的刑期数学期望为 E2354年．

显然E1E2，于是甲选择招供，同样，乙自然也选择招供，于是各判5年！这就是所谓的“纳什均衡”．这是数学期望在现实生活中的一个典型应用． 这个问题反映了经济活动中，参与博弈的双方出于利己的动机，并不一定选择对大家都有利的行为，而是常常就象上面的两名囚徒一样，以两败俱伤而达到所谓的“均衡”．当然这里双方的行为取决于游戏的规则，如果规则适当就可以出现互惠的局面．如上述问题中，若将不招供一方的刑期由10年变为6年，这时

E13，E24，于是双方都选择不招供！在市场经济中，市场的监管者———政

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府所制定的市场规则决定着个人的经济行为，这样的例子在经济活动中和日常生活中比比皆是．下面举三例以作分析．

例1 某商场通过检查发现存在火灾隐患，并估计发生火灾的概率为0.01，一旦发生火灾将造成1000万元的经济损失和人员伤亡，如果采取某预防措施需花费30万元，则可防止火灾发生．因为一旦发生火灾造成人员伤亡，其损失是无法用金钱来计算的，因此政府鼓励商家采取预防措施．如果商家采取预防措施政府将奖励10万元，如果发现商家不采取预防措施将处以罚款，而商家不采取措施被查






到的概率为，这时，罚款额至少是多少万元才能促使商家采取预防措施？

分析：假设罚款额为x万元，则商家不采取预防措施时总花费的期望为

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；采取预防措施的总花费的期望为：E2301020E110000.01x10（万元）

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（万元），要鼓励商家采取预防措施则必须有：E1≥E2，即x10≥20，所以．故罚款额多于20万元才能起到鼓励作用． x≥20（万元）



例2 电信行业价格竞争的数学模型：假设电信运营商A与B在电信某一领域展开竞争．一开始的价格为P0，A是老牌企业，实力雄厚，占领绝大部分的市场份额；B刚成立不久．政府为了鼓励竞争有意扶植B而给予一定优惠，使得B的价格比A低10%这一举动开始时对A没有产生多大的影响．但B由于有价格优势逐步壮大，到了一定程度对A造成了影响．这时不妨假定：①A维持原价，B也维持原价：A获利5，B获利10；②A降价，B维持原价：A获利15，B损失5；③A维持原价，B降价：A损失10，B获利15；④A降价，B降价：A损失5，B损失5．这时A怎么做？

分析：在未知对方态度的前提下，我们认定概率均等（即某一方降价与不降价的概率各为），A降价的收益数学期望为：E11555，A维持原价的收益数学期望为：E5102.5为了自身利益的最大化，A选择降价！事实上从B看结果也一样，其降价收益为5，维持原价收益为2.5．于是实现了第④种选择，二者各损失5，即消费者集体获益！这就是竞争与垄断的差别！



例3 在商业活动中偷税可非法获益而造成国家财产损失．国家为了防止税收流失，通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款．统计发现偷税者被查出的概率为0.2，这时罚款额度n至少多大才能起到惩罚的作用？ 分析：假设偷税额为x，则偷税时商家受益的数学期望为

3n3n

E0.8x0.2xn0.2xx，要使处罚有效，必须使x0，即x3．故

5555

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一旦查出至少应处以3倍以上的罚款，才能起到防止偷税现象发生的作用． 注：我们要养成用数学眼光观察生活中的数学问题的习惯，发现数学的应用

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