第八讲数列求和,极限和数学归纳法知识方法拓展

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第八讲

一、知识方法拓展

1.常见的幂和公式 (1)12(2)1222

3

3

数列求和，极限和数学归纳法

n

n(n1)

2

n(n1)(2n1)

n2

6

2

3

(3)12

n

n(n1)

n2

注：

k

k1

i

22131

的一个推导方法：利用组合数的性质，如n2Cn1Cn，n3=6Cn1Cn等

2.数学归纳法的几种形式

(1)第一数学归纳法：如果①当n取第一个值n0,n0N时，命题成立；②假设当

*

nk(kN*,kn0)时命题成立，由此推得nk1时命题也成立，那么对于一切正整数

nn0都成立。

(2) 第二数学归纳法：如果①当n1时，命题成立；②假设当nk(kN,k1)时命题成立，由此推得nk1时命题也成立，那么对于一切正整数n都成立。 (3) 跳跃数学归纳法：如果①当n1,2,3,

*

,m时，命题成立；②假设当

nk(kN*,km)时命题成立，由此推得nkm时命题也成立，那么对于一切正整

数n都成立。

(4) 反向数学归纳法：如果①对无穷多个n，命题成立；②假设当nk1(kN)时命题成立，由此推得nk时命题也成立，那么对于一切正整数n都成立。 3.分式型数列极限的运算规则

*

(1)lim

n

a0a1na2n2b0b1nb2n2

0

apnpap

bqnqbq



pqpq pq

bq

(2)假设a1a2ap,b1b2


lim

n

c1a1nc2a2

n

d1bd2b

n

1n2

0ccpanpp

dqbqndq



apbqapbq apbq

4.常见极限

an

0(a0) (1)limnn!nk

(2)limn0(a1) nalnn

0

nn

sinxx(4)limlim1 x0x0xsinx

(3)lim

1

1x11

(5)lim(1)e,lim(1x)xe, lim(1)x

x0xxxxe



二、热身练习

1.(2011复旦)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4，前3个数构成一个等比数列，其和为k，后3个数构成一个等差数列。其和为9，且公差非零，对于任意固定的k，若满足条件的数列

的个数大于1，则k应满足（ ）

A.12k>27 B.12k<27 C.12k=27 D.其他条件

分析与解：由已知易得a33，设a23d,a43d，则a1

3d

3

2

，由

a1a2a3

3dk

3

2

3d3kd29d3k270

因为满足条件的数列个数大于112k27012k27，选A

2. (2000交大)若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程xpxq0的两个根，则此数列各项的积是（ ） A.p B.p

m

2m

2

C.q D.q

m2m



n

2

2m2

分析与解：类比等差数列的各项和公式，得等比数列各项积Tna1anq

qm，选C


an

__________________ 3. (2003复旦)a0,limn

n2an



0a21an

分析与解：比较底数绝对值最大项，得limna2 n2an

2

1a2

演变：a0,lim

n

an11an

2

n

_________________



a<1n

an11

分析与解：比较底数绝对值最大项，可忽略，lim2a=1 nn

21an

1a>12



三、真题精讲

例1. (2012华约)已知anlg1

2

Sn ，其前n项和为Sn，求lim2nn3n

分析与解：anlg

(n1)(n2)n1n2

lg

n(n3)nn3

23

Snlg

12

limSnlg3

n



n134

n45



n23(n1)

lg

n3n3



例2. (2001复旦)设数列bn满足b11,bn0,(n2,3,其中a是大于1的常数n1,2,(1)求证：bn是等比数列

(2)求bn中所有不同两项的乘积之和

)，其前n项乘积Tn(an1bn)n，



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