集合子集个数

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一 集合A的子集个数

1 n个元素每个都有两种选择，即有或没有，那么n个元素就有2^n种

2 有n个元素，每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里， 。。。 这样子判断n次，产生了2^n种不同子集 二 若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方）真子集个数是什么 非空真子集个数是什么 并证明 最佳答案 2^n - 1, 2^n - 2

证：设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。 00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]

一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集 比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3 111 <--> {a, b, c} --> 即集合A

110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中 101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中 ... ...

001 <--> { , , c}

000 <--> { , , } --> 即空集

如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。



三 关于含有n个元素的集合的真子集个数问题 最近发现这么一类问题，让你求对于含有n个元素的集合，其含有m个元素真子集的个数是多少？（n>m） 这里有一道例题：

1个集合里有10个元素，那么他有3个元素的子集是多少个？ 首先，我们来逐步解决这个问题。

引入一：1个集合里有10个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？ 答：这个貌似不用说都知道吧。。。10个。。。这个小学生都会做。。。即有n个 引入二：1个集合里有10个元素，那么他有2个元素的子集是多少个？ 答：这个就有一些难度了，但并不很难，这里有一个思路：

先定住一个元素，然后另一个元素逐渐往后移动，可能我说不清楚，请看图解： （◎定住元素★移动元素☆其他元素，下同） ◎★☆☆☆☆☆☆☆☆ 下一步是：


◎☆★☆☆☆☆☆☆☆

就像这样，发现什么了么？对，定住一个之后，问题就化简了，变成了：1个集合里有9个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？

之后向后移动定住元素，像那样再次化简问题，如图所示： ◎☆☆☆☆☆☆☆☆★ 下一步是：

☆◎★☆☆☆☆☆☆☆

结果就出来了：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个

发现什么了么？这好像高斯定理啊，那么这个公式就是n(n-1)/2

其实，这个小问题是著名的握手问题，即10人相互握手，既不重复，又不落空，总共要握多少次？

答案依然为45个。

铺垫了这么多，让我们来看看正题吧。。。（众：你的废话确实很多）

对于3个，我们先定住一个，即把它转化为2个元素的问题，利用引入二的公式，我们可得： 36+28+21+15+10+6+3+1=120

问题深入：上述方法已经可以解决问题了，但是并不是很简单，有没有一般规律呢？ 让我们看看这个问题：

1个集合里有10个元素，那么他有4个元素的子集是多少个？ 根据刚才的方法，我们可得： 84+56+35+20+10+4+1=210

看来，规律要出来了，让我们来总结一下前面的算式 引入一：公式n，即n÷1

引入二：公式n(n-1)/2，即n(n-1)/(1×2)

三：暂无公式，但有3时得120，恰有10(10-1)(10-2)/(1×2×3)=120

四：暂无公式，但有4时得210，恰有10(10-1)(10-2)(10-3)/(1×2×3×4)=210 看来公式真的出来了

公式：对于问题1个集合里有n个元素，那么他有m个元素的子集是多少个？(n>m;n,m∈Z） 其数量为n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/(1×2×...×m) 如果学过阶乘，那么公式可表示为n!÷(n-m)!÷(m!) （插一句：所谓阶乘，简单讲是对于自然数的一种运算。

设这个自然数为n，则其阶乘n!(这是阶乘表示法)=1×2×...×n 特别的，定义0!=1） 问题深入二：

1个集合里有10个元素，那么它的真子集是多少个？ 这里就一带而过，不给证明。。。

答案为10+45+120+210+252+210+120+45+10+1（1是空集φ）=1023 稍微敏感的人就会发现，其公式为2^n-1（2的n次幂减1的差），证明不提供。。。

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