向量公式大全ea

2022-12-31 21:03:29   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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向量公式

a=xyb=(x'y')

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。 AB+BC=AC

a+b=(x+x'y+y') a+0=0+a=a

向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a

结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的减法

如果ab是互为相反的向量,那么a=-bb=-aa+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减〞

a=(x,y) b=(x',y') 那么 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa=∣λ∣•∣a∣。 当λ>0时,λaa同方向; 当λ<0时,λaa反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意。

a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0a=0 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向〔λ>0或反方向〔λ<0上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向〔λ>0或反方向〔λ<0上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)b=λ(ab)=(a•λb) 向量对于数的分配律〔第一分配律〕(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律〔第二分配律〕:λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a0且λa=μa,那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义:两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,那么角AOB称作向量a和向量b


夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义:两个向量的数量积〔内积、点积〕是一个数量,记作ab。假设ab不共线,那么ab=|a||b|cosab假设ab共线,那么ab=+-a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示:ab=xx'+yy' 向量的数量积的运算律 ab=ba〔交换律〕

(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律) a+b)c=ac+bc〔分配律〕 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 ab =ab=0 |ab||a||b|

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc);例如:(ab)^2a^2b^2

2、向量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a0),推不出 b=c 3|ab||a||b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=ba=-b

4、向量的向量积

定义:两个向量ab的向量积〔外积、叉积〕是一个向量,记作a×b。假ab不共线,那么a×b的模是:a×b=|a||b|sinaba×b的方向是:垂直于ab,且aba×b按这个次序构成右手系。假设ab共线,那么a×b=0

向量的向量积性质:

a×b∣是以ab为边的平行四边形面积。 a×a=0

ab=a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=-b×a

〔λa〕×b=λ〔a×b=a×〔λb a+b〕×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD〞是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a-b∣∣≤∣a+b∣≤∣a+b∣; 当且仅当ab反向时,左边取等号; 当且仅当ab同向时,右边取等号。

2、∣∣a-b∣∣≤∣a-b∣≤∣a+b∣。 当且仅当ab同向时,左边取等号; 当且仅当ab反向时,右边取等号。


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