向量公式大全ea

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向量公式

设a=〔x，y〕，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。 AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减〞

a=(x,y) b=(x',y') 那么 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。 向量对于数的分配律〔第一分配律〕：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律〔第二分配律〕：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,那么角AOB称作向量a和向量b的


夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积〔内积、点积〕是一个数量，记作a•b。假设a、b不共线，那么a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；假设a、b共线，那么a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。 向量的数量积的运算律 a•b=b•a〔交换律〕；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)； 〔a+b)•c=a•c+b•c〔分配律〕； 向量的数量积的性质 a•a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a•b=0。 |a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积〔外积、叉积〕是一个向量，记作a×b。假设a、b不共线，那么a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。假设a、b共线，那么a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a；

〔λa〕×b=λ〔a×b〕=a×〔λb〕； 〔a+b〕×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD〞是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

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