概率论公式总结

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概率公式整理

1．随机事件及其概率吸收律：AA

A(AB)A

A

AAAA(AB)A

n

ABABA(AB)

n

n

反演律：ABAB ABAB

AA AA

i

i

i

i

i1

i1

i1

i1

n

2．概率的定义及其计算：P(A)1P(A) 若AB P(BA)P(B)P(A) 对任意两个事件A, B, 有 P(BA)P(B)P(AB)

加法公式：对任意两个事件A, B, 有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(AB)P(A)P(B)

P(Ai)P(Ai)

i1

i1

n

n

1ijn

P(AA)

i

j



1ijkn

P(AAA)(1)

i

j

k

n

n1

P(A1A2An)

3．条件概率 PBA

P(A1A2An)P(A1)PA2

P(AB)

乘法公式 P(AB)P(A)PBA(P(A)0)P(A)

A1PAnA1A2An1



(P(A1A2An1)0)



全概率公式



P(Bk)P(ABk)

P(A)P(ABi)

i1

n



P(Bi)P(ABi)

i1

n

Bayes公式

P(BkA)

P(ABk)

P(A)

P(B)P(AB)

i

i

i1

n



P(aXb)P(Xb)P(Xa)

分布函数计算

F(b)F(a)

4．随机变量及其分布

5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布P(Xk)pk(1p)1k,k0,1 (2) 二项分布 B(n,p)若P ( A ) = p P(Xk)Cnkpk(1p)nk,k0,1,,n * Possion定理

limnpn0

n

有

limCp(1pn)

n

knkn

nk

k! k0,1,2,

e



k

(3) Poisson 分布 P()

P(Xk)e



k

k!

,k0,1,2,

6．连续型随机变量 (1) 均匀分布

xe,x0f(x)

其他0,

0,

1,axbxa

U(a,b)f(x)baF(x),

0,ba其他1



(2) 指数分布 E()

x00,

F(x)x

1e,x0

f(x)

1

e2

(x)222

(3) 正态分布 N (m , s 2 )

F(x)

12

x



x



e



(t)222

dt

精品


* N (0,1) — 标准正态分布

1

(x)

2

1

(x)e

2

x22

x



x



e



t22

dt

x

7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数

xy

F(x,y)f(u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数

FY(y)

y

FX(x)f(u,y)du

x







f(u,v)dvdu

fX(x)f(x,v)dv









f(u,v)dudv

fY(y)





8. 连续型二维随机变量 (1) 区域( G )

1

,(x,y)G

f(x,y)A

其他0,

G 上的均匀分布，U

(2) 二维正态分布

f(x,y)

1

212

1

2



e

(x1)2(x1)(y2)(y2)2

2

122(12)1222

1



fX(x)0

x,y

9. 二维随机变量的 条件分布

fY(y)fXY(xy)fY(y)0

fX(x)



f(x,y)fX(x)fYX(yx)





f(x,y)dy





fXY(xy)fY(y)dy



fY(y)





f(x,y)dx



fYX(yx)fX(x)dx

fYX(yx)fX(x)f(x,y)

 fXY(xy) 

fY(y)fY(y)



fXY(xy)fY(y)f(x,y)

 fYX(yx) 

fX(x)fX(x)

k1

10. 随机变量的数字特征 数学期望E(X)xkpk

E(X)xf(x)dx





随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 E(Xk) X 的 k 阶绝对原点矩

E(|X|k)

X 的 k 阶中心矩 E((XE(X))k) X 的 方差 E((XE(X))2)D(X)

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 E(XkYl) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 E(XE(X))k(YE(Y))l

X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差E(XE(X))(YE(Y))

X ,Y 的相关系数

(XE(X))(YE(Y))

XY E

D(X)D(Y)



X 的方差D (X ) = E ((X - E(X))2)

D(X)E(X2)E2(X)

协方差 cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y))

E(XY)E(X)E(Y)

1D(XY)D(X)D(Y)

2

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