点圆及点圆的性质与应用

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点圆及点圆系的性质与应用

魏烈斌

湖北荆州中学



点是几何中最基本的元素，也可以视其为半径零的圆，即点圆。坐标平面上的点P(x0,y0)的方程可记为(x

x0)2(yy0)20。由点圆P，直线

222

l:AxByC0，圆M:(xa)(yb) r(r0)可构成下列圆

系：

点P(x0,y0)在圆M上，为非零实数，有圆系D:

(xa)2(yb)2r2((xx0)2(yy0)2)0（1）

点P(x0,y0)在直线l上，为非零实数，有圆系 E:

(xx0)2(yy0)2(AxByC)0 （2）

直线l与圆M相切于点P(x0,y0)，为非零实数，有圆系F:

(xa)2(yb)2(AxByC)0 （3）

下面给出D，E，F的性质。

定理1 1）D1是圆M在点P(x0,y0)的切线。 2）D(

并且任一与圆M切1)是与圆M相切于点P(x0,y0)的圆，

于点P(x0,y0)的圆的方程都能写成（1）.

定理2 E是与直线l相切于点P(x0,y0)的圆，并且任一与直线l切于点P(x0,y0)的圆的方程都能写成（2）.

定理3 1）存在唯一的实数0，使F0就是点P(x0,y0) 2）F(

0) 是与直线l相切于点P(x0,y0)的圆，并且它与圆M也切

于点P(x0,y0)


仅对定理3 给出证明.其过程如下：

证 1）由于直线l与圆M相切，所以圆心M

(a,b)到直线l的距离为

r，从而有 (AaBbC)2(A2B2)r2代入（3）可得

x(aA)y(bB)1(A2B2)AaBbC（4）

224A2B2因为点P(x0,y0)是直线l与圆M的切点，所以点P的坐标满足（3），进而满足（4）

另一方面，当

2

2

2

AaBbC

0

22AB

时，（4）表示点

P(a

AB,b) 22

这说明P就是点P，故存在实数0使F0就是点P。 2） 易知F必过点P.当点P的圆.解方程组

，这说明F是过0时，F的方程为（4）

(xa)2(yb)2(AxByC)0(5)



(6)AxByC0

(5)(6)可得(xa)2(yb)2r2 （7）

由于直线l与圆M相切于点P(x0,y0)，所以联立（6）、（7）有唯一解、（6），联立（5）、（7）均有唯一解(x0,y0).这说明(x0,y0).于是联立（5）

F(0)不仅与直线l切于点P(x0,y0)，与圆M也切于点P(x0,y0).

下面举例说明上述定理的应用. 例1 已知直线l与圆O:x

2

求直线l的方程. y225切于点P(3,4)，

2

解 依题意及定理1可知，圆O:x方程为(x

2

y225在点P(3,4)的切线l的

y225)[(x3)2(y4)2]0 即

3x4y250

例2 求过点A(4,1)且与圆(x1)

2

(y3)25相切于点B(1,2)的


圆的方程.

解 由定理1可设所求圆的方程为：

(x1)2(y3)25[(x1)2(y2)2]0 （8）

又该圆过点A(4,1)，所以有

(41)2(13)25[(41)2(12)2]0 即2 代入

（8）整理得所求圆的方程为(x3) 例3 求与圆M点A(3,

2

(y1)25

:x2y22x0外切，且与直线x3y0相切于

3)的圆的方程.

解 设所求圆为C，由定理2 可设C的方程为

(x3)2(y3)2(x3y)0 将其整理为 3

[x(3)][y(3)]22 （9）

22

2



因圆C与圆M:x2y22x0即(x1)2y21外切，所以有

.即6

32

(31)(3)1

22

2



2，

解得2或6 代入（9）的圆C的方程为：

(x4)2y24或x2(y43)236

例 4 已知直线x

ym和圆x2y2m(m0)相切，求m的值 .

2

解 由定理3可知存在值，使方程(x表示切点，即方程 (x

y2m)(xym)0



)2(Y)2mm表示点圆

222

2

(







,).因此mm0且m，解得m2 22222

2

注：该文发表在《数学通讯 》 2000.13）

本文来源：https://www.wddqxz.cn/4bdb548a5222aaea998fcc22bcd126fff7055d90.html