指数性质及运算

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一、 指数性质及运算

知识要点:

1．指数概念的扩充

当nN时，anaaa 

n个a

当nQ时，⑴零指数 a0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a–n=1n (a≠0)；

a

⑶分数指数 aman (a>0，m、n为正整数)



①根式

如果有xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数． 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，用符号“na”表示．例如3273，532= –2．

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数． 用符号“±na”表示．例如416=±2

负数没有偶次方根． 零的任何次方根都是零，用符号n0=0表示． 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

根据n次方根的意义，可得(na)n=a．例如(5)2=5，(32)3= –2

但要注意，nan不一定等于a．当n为奇数时，nan=a，例如(32)3= –2．但当n为偶数时，如果a是非负数，则nan=a，例如(43)4=3，但如果a是负数，则nan= –a 例如(3)2= –(–3)=3．这就是说， 当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，

n

nm

anaa(a0)

a(a0)



23



②分数指数幂

当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被

2

根指数整除一样写成分数指数幂的形式．例如aa，

mn

34

b5b．

54

我们规定正数的正分数指数幂的意义是anam (a>0，m，nN，且n>1) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定

a

mn

1m (a>0，m，nN，且n>1) an

注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以

后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则

⑴aman=am+n (m，nZ); ⑵(am)n=amn (m，nZ); ⑶(ab)n=anbn (nZ)． 注:因为am÷an可以看作ama–n，所以am÷an=am–n可以归入性质⑴．




例题分析：

例1．求下列各式的值

⑴3(8)3； ⑵(10)2； ⑶4(3)4； ⑷(ab)2 (a．

解: ⑴3(8)3= –8；







⑵(10)2=|–10|=10； ⑷(ab)2=|a–b|=b–a (a<b)．

34

⑶4(3)4=|3–|=–3；

2

例2．求下列各式的值：83，1002，(16)

1

811343322233

解: 83(23)323224；100211111；(16)4(24)4233327．

8183321002(102)210





例3．计算下列各式

⑴(2ab)(6ab)(3ab)； ⑵(pq)． 解: ⑴(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)4a3

⑵(pq)(p)(q)pq



例4．计算下列各式

⑴a25a3a10a7

14

388

1

4

23121213165614388

2111152

11

26

b2

1

1536

4ab04a；

8

388

23

p2q

3

．

； ⑵(35125)45；

3



⑶3xy2(xy)3．

2752317

a1a7a5210a5； 解: ⑴

a10a7a2a10

a25a3

⑵(35125)45(5352)5453452

1

1

3

1311

1

3

14

3

51254；

5

7

1

5

7

15

⑶3xy2(xy)33xy2(x2y2)33xy2x2y2(x2y2)3x6y6．

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