什么叫有理数,有理数的定义

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有理数剖析

1. 什么是有理数

有理数是整数和分数的统称，除了无限不循环小数以外的数都统称有理数。 它可分为整数和分数，也可分为正有理数，零，负有理数。有理数是整数和分数的集合，但是一切有理数又都可以化成分数的形式，因为整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或者无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

2. 有理数例子

以下都是有理数：

(1)自然数：数0,1,2,3,……叫做自然数. (2) 正整数：+1,+2,+3,……叫做正整数. (3）整数：正整数、0、负整数统称为整数. (4）分数：正分数、负分数统称为分数. (5）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数.如-3,-1,1,5等.所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数.

(6）偶数：能被2整除的整数叫做偶数.如-2,2,4,8等.所有的偶数都可用2n表示,n为整数.

(7）质数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等.2是最小的质数.

(8）合数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等.4是最小的合数.一个合数至少有3个因数. 如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.有理数集是实数集的子集,即Q?R.相关的内容见数系的扩张.有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）： ①加法的交换律 a+b=b+a；

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； ③存在数0,使 0+a=a+0=a； ④乘法的交换律 ab=ba；

⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；

⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac.0a=0 一个数乘0还等于0.此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.值得一提的是有理数的名称.

“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,


这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是（rational number）,而（rational）通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为（ratio）,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数,π也是其中一个无理数）.

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