2021年新知杯上海市初中数学竞赛试题

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新知杯上海市初中数学竞赛试题

一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b，已知a∗2.5=28.5，则实数a值是 。

2、在三角形ABC中，ABb21,BCa2,CA2a，其中a,b是不不大于1整数，则b-a= 。

3、一种平行四边形可以被提成92个边长为1正三角形，它周长也许是 。

4、已知关于x方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有实根，并且所有实根乘积为−2，则所有实根平方和为 。

5、如图，直角三角形ABC中，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长最小值为 。 6、设a，b是方程x268x10两个根，c，d是方程

C

x86x10两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)

2

BE

P

F

第五题图

A

值 。

7、在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) ，Q (2,2)，函数y=kx−1 图像与线段PQ 延长线相交（交点不涉及Q），则实数k取值范畴是 。 8、方程xyz=所有整数解有 组。


9、如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。

A

D

C



D

M

E



B

C

第九题图

A

第十题图

B





10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10。点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM面积和是 。 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1，

AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC长。

B



C

A

D第二大题图

三、（本题15分）求所有满足下列条件四位数abcd，abcd(abcd)2其中数字c可以是0。



四、（本题15分）正整数n满足如下条件：任意n个不不大于1且不超过两两互

素正整数中，至少有一种素数，求最小n。






五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,a2b与ab2都是有理数，称数对(a,b)是和谐。

①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐；

②证明：若(a，b)是和谐，且a+b是不等于1有理数，则a,b都是有理数； ③证明：若(a，b)是和谐，且



a

是有理数，则a,b都是有理数； b

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