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新课标对学生运算能力的要求
1. 四则运算的产生和意义。
在说混合运算之前先来说说四则运算的产生，只有真正理解了四则运算的意义和四则运算之间的关系，才能为学习四则混合运算打好基础，也就更能明白混合运算顺序的顺序为什么是先乘除后加减了。加法是四则运算的基础 ( 加法定义），乘法由加法引入（乘法定义），减法和除法分别以加法和乘法为基础，这样的顺序是符合数学本身发展规律的，自然数是从计数中抽象出来的，当有两组事物需要合并计数时，最基本的也是儿童最易接受的方法是连续地计数。所以加法与认数教学的联系极为密切，四则运算从加法开始，也符合儿童认知规律。引入加法后，就应尽早出现它的逆运算，是学生在比较中加深理解加减法的含义，当计算若干个相同数连加时，如果仍采用加法运算就显得繁琐，势必要寻找简便方法，这是在引进乘法就很自然。因此，较难掌握的除法运算就留在最后出现。当学生的认数范围不断扩大，并由整数扩展到了小数、分数时，四则运算仍按照加、减、乘、除的次序循环出现，螺旋上升。所以在认数阶段开始，就让学生初步建立正确的加法概念，是十分重要的。
其实，四则运算的意义实际上就是“数”的运算，比如在一个数轴上，加法就是依次向后数，如， 3 ＋ 5 ，就是在 3 的基础是向后数 5 个，得到的就是 8 。而减法也是数出来的，如， 8 － 5 ，就是在 8 处，向左数出 5 个，得到的就是 3 。乘法和除法也是数出来的，只是这两种数的方法不是单个数的，而是群数，如 5 × 3 ，就是 5 个 5 个的数，数 3 次，得到 15 。 15 ÷ 3 ，也是数数里面有几个 3 。
2. 混合运算顺序中“先加减后乘除”的理由
在我们的教学中，不少老师询问为什么先乘除，后加减呢，这样规定的理由是什么？在数学中，任何一种规定都是有理由的。在整数四则运算中，同级运算按照从左到右的顺序进行计算。这样规定主要是为运算方便。然而在整数四则混合运算中，规定先进行乘除运算，再进行加减运算，这个理由有三条。 （ 1 ）是整数四则运算的必然规律。根据刚才的四则运算的意义，乘法是相同加数的连加的简便运算，除法还可以用减法实施，如 18 ÷ 6 商 3 ，就是从 18 中连续减去 6 结果等于 0 的次数。从这个意义上讲，除法又是相同减数连减的简便运算。根据整数四则运算的这种内在联系，在实际运算中应该先进行乘除运算后进行加减运算。
（ 2 ）是适应部分问题解答的要求。解决问题最终要列出综合算式，进而计算求解。那么用乘号或除号连接的几个数往往不同于它们各自原来的含义。所以必须先求出它们的结果，才能继续进行运算。如：买 3 支自动笔，每支 2 元； 4 个练习本，每本 1 元。一共多少元？显然综合算式是 3 × 2 ＋ 4 × 1 。两个乘号连接的是各自花的钱数，含义不同于原来各自的含义，只有先求出它们的结果，才能求出总共多少元。
（ 3 ）是多位数乘除法运算的需要。在多位数乘除运算中，人们熟知都是先进行乘法运算，在进行加法运算，这样反复多次才能得出运算结果。如：竖式 12 × 34 ，就是先算 12 × 4 ，再算 12 × 30 ，最后算出两个积的和。先算乘法后算加法。
综上所述，在整数四则运算中，规定先进行乘除运算，后进行加减运算是必然的，也是合情合理的。 3. 括号的产生和作用
在学会初步的四则运算之后，开始学习带有括号的混合运算，括号也是用来规定运算次序的符号。
最早出现的括号是小括号“（ ）”，于 1544 年出现。直至 17 世纪，中括号“ [ ] ”才出现于英国瓦里斯﹝ 1616 ─ 1703 ﹞的著作中，至于括线则由 1591 年 韦达 ﹝ 1540 ─ 1603 ﹞首先采用，而大括号“ { } ”则约在 1593 年由韦达首先引入，主要用来表示一个数的集合；至 1629 年，荷兰的基拉德采用了全部括号， 18 世纪后开始在世界通用。
随着数学学习的深入，所有的括号都可以用“（ ）”代替，这样看起来方便，又可以避免造成括号样式过多的情况。
在初等数论中，小括号用来表示最大公约数，如（ 111,148 ） =37 ；中括号用来表示最小公倍数，如 [ 12 ， 18 ] ＝ 36 。 4. 课标中对“运算能力”的要求。
《数学课程标准》（ 2011 版）上这样描述：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。“运算能力”是 2011 年版小学数学课程标准中的十个核心概念之一，相对于实验版课程标准，它是在 2011 版课标中新增的一个核心概念。
在《数学课程标准》（ 2011 版）中的要求是：第一学段理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。无论是学习和掌握数与式的运算，还是解方程等运算，一开始总是和具体事务相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式的运算。运算思维的抽象程度，是运算能力的主要特征之一。
“混合运算”是学生在学习了加减乘除四则运算基础上必须掌握的一种比较综合的运算技能。学习整数上的运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质，强调让学生理解四则运算并了解它们之间的关系。对于运算的难度和熟练程度，《课标》针对不同的内容作出了明确的要求。限制运算的步骤是为了控制繁
杂的问题，四则运算的多步计算会出很繁杂的问题，对于每一步骤的计算学生可能都会做，但在若干步骤计算中，如果有一个地方出错，就会导致整个结果出错。在有了计算器之后，人们在现实生活中遇到繁杂的问题时，可以选择用计算工具，而没有必要把用大量的时间用于复杂的运算。而对于这种运算，稍不留意就会在某一个环节出错，也会导致学生失去学习数学的信心。
应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重要。应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度。
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2022-03-22
