抽屉原理练习题

2022-12-25 00:06:16 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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抽屉原理练习题

3个不同的整数中一定有两个的差能被2整除； 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除； 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除；

1、求证：任意互异的3个整数中，一定存在6个整数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）恰是

105的倍数。

分析：由于105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1、x2，使得x1－x2是7的倍数，同理x3－x4

是5的倍数，x5－x6是3的倍数，题目即得证。

解：根据抽屉原理一，在所给的任意8个整数中，必有两个整数被7除的余数相同，不妨设这两个数为x1、x2，则有7|（x1－

x2），或表示为：x1－x2=7k1（其中k1为不等于零的整数）。在余下的6个数中，必有两个数被5除的余数相同，不妨设这两个数为x3、x4，使得x3、x4满足：x3－x4=5k2（k2为非零整数）。在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，不妨设这两个数为x5、x6，使得x5－x6=3k3（k3为非零整数）。

（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6） =7k1·5k2·3k3 =105×整数

即：从任意给定的互异的8个整数中，一定可以找到6个数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）

是105的倍数。

2、一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？

分析：当摸出的两个球的颜色相同时，可以有四种不同的结果。当摸出的两个球的颜色不同时，最多可以有3+2+1种不同的结果。

将上述10种不同的结果作为10个抽屉。

解：要求10次摸出的结果相同，依抽屉原理二，至少要摸9×10+1=91（次）。

3、一个圆上有40条直径，在每条直径两端各填上一个数，所填数字可以从1到20中任意选。一定存在两条直径，两端点数字

之和相等。

分析：我们做抽屉的方向一定是当每条直径的两端从1到20中任选数字填在上面时，会有多少种不同的和。把这些不同的和分

别作为抽屉。再去与直径的条数做比较，就可以得出结论。

解：直径两端和最小的是2，最大的是40。因此，共有39种不同的和，把39种不同的和看成39个抽屉，直径的条数是40，大

于39，所以一定存在着两条直径，两端数字之和相等。

4、能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每一行、每一列及对角线AC、

BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。

分析与解答：8行8列及两条对角线，共有18条“线”，每条“线”上都填有8个数字，要使各条“线”上的数字和均不相同，那么各

条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种。下面我们来分析一下各条“线”上取不同和的情况有多少种。如果某一条“线”上的8个数字都填上最小的数1，则可得到数字和的最小值8；如果某一条“线”上的8个空格中都填上最大的数3，那么可得到数字和的最大值24。由于数字及数字和均为整数，所以从8到24共有17种不同的值。我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉，而将18条“线”看作18个元素。根据抽屉原理一，将18个元素放入17个抽屉中，一定有一只抽屉中放入了至少两个元素。即18条“线”上的数字和至少有两个相同，所以不可能使18条“线”上的各数字和互不相同。

5、由6个队参加的单循环比赛（每两个队都要比赛一场），无论比赛进行到什么时候，一定存在两个队，这两个队比赛过的场

次数相同。

分析：无论比赛进行到什么时候，所有比赛过的比赛过的场次从0场到5场都有可能出现。因此，就会有5个不同的抽屉。解：参赛的队有6个，有5个抽屉，根据抽屉原则一，无论比赛进行到什么时候，一定有两个队比赛过的场次相同。

练习：

1、一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？

2、一个圆上有40条直径，在每条直径两端各填上一个数，所填数字可以从1到20中任意选。一定存在两条直径，两端点数字之和相等。

3、能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每一行、每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。

4、由6个队参加的单循环比赛（每两个队都要比赛一场），无论比赛进行到什么时候，一定存在两个队，这两个队比赛过的场次数相同。

3个不同的整数中一定有两个的差能被2整除； 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除； 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除；

求证：任意互异的3个整数中，一定存在6个整数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）恰是105的倍数。

分析：由于105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1、x2，使得x1－x2是7的倍数，同理x3－x4是5的倍数，x5－x6是3的倍数，题目即得证。

解：根据抽屉原理一，在所给的任意8个整数中，必有两个整数被7除的余数相同，不妨设这两个数为x1、x2，则有7|（x1－x2），或表示为：x1－x2=7k1（其中k1为不等于零的整数）。在余下的6个数中，必有两个数被5除的余数相同，不妨设这两个数为x3、x4，使得x3、x4满足：x3－x4=5k2（k2为非零整数）。在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，不妨设这两个数为x5、x6，使得x5－x6=3k3（k3为非零整数）。

（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6） =7k1·5k2·3k3 =105×整数

即：从任意给定的互异的8个整数中，一定可以找到6个数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）是105的倍数。