抽屉原理练习题

2022-12-25 00:06:16   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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抽屉原理练习题

3个不同的整数中一定有两个的差能被2整除; 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除; 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除;

1、求证:任意互异的3个整数中,一定存在6个整数x1x2x3x4x5x6使得(x1x2·x3x4·x5x6)恰是

105的倍数。

分析:由于105=3×7,而357两两互质,所以只要能找到两个数,比如x1x2,使得x1x27倍数,同理x3x4

5的倍数,x5x63的倍数,题目即得证。

解:根据抽屉原理一,在所给的任意8整数中,必有两个整数被7除的余数相同,不妨设这两个数为x1x2,则有7|x1

x2),或表示为:x1x2=7k1(其中k1为不等于零的整数)。在余下的6个数中,必有两个数被5除的余数相同,不妨设这两个数为x3x4,使得x3x4满足:x3x4=5k2k2为非零整数)。在余下的4个数中,必有两个整数被3除所得余数相同,不妨设这两个数x5x6,使得x5x6=3k3k3为非零整数)。

x1x2·x3x4·x5x6 =7k1·5k2·3k3 =105×整数

即:从任意给定的互异的8个整数中,一定可以找到6个数x1x2x3x4x5x6使得(x1x2·x3x4·x5x6

105的倍数。

2、一个袋里有四种不同颜色的小球,每次摸出两个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸多少次?

分析:当摸出的两个球的颜色相同时,可以有四种不同的结果。当摸出的两个球的颜色不同时,最多可以有3+2+1种不同的结果。

将上述10种不同的结果作为10个抽屉。

解:要求10次摸出的结果相同,依抽屉原理二,至少要摸10+1=91(次)。

3 一个圆上有40条直径,在每条直径两端各填上一个数,所填数字可以从120中任意选。一定存在两条直径,两端点数字

之和相等。

分析:我们做抽屉的方向一定是当每条直径的两端从120中任选数字填在上面时,会有多少种不同的和。把这些不同的和分

别作为抽屉。再去与直径的条数做比较,就可以得出结论。

解:直径两端和最小的是2,最大的是40。因此,共有39种不同的和,把39种不同的和看成39个抽屉,直径的条数是40,大

39,所以一定存在着两条直径,两端数字之和相等。

4、能否在88列的方格表的每一个空格中分别填上123这三个数字中的任意一个,使得每一行、每一列及对角线AC

BD上的各个数字的和各不相同?对你的结论加以说明。

分析与解答:88列及两条对角线,共有18线,每条线上都填有8个数字,要使各条线上的数字和均不相同,那么各

线上的数字和的取值情况应不少于18种。下面我们来分析一下各条线上取不同和的情况有多少种。如果某一条线上的8个数字都填上最小的数1,则可得到数字和的最小值8;如果某一条线上的8个空格中都填上最大的数3,那么可得到数字和的最大值24。由于数字及数字和均为整数,所以从824共有17种不同的值。我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉,而将18线看作18元素。根据抽屉原理一,将18个元素放入17个抽屉中,一定有一只抽屉中放入了至少两个元素。即18线上的数字和至少有两个相同,所以不可能使18线上的各数字和互不相同。

5、由6个队参加的单循环比赛(每两个队都要比赛一场),无论比赛进行到什么时候,一定存在两个队,这两个队比赛过的场

次数相同。

分析:无论比赛进行到什么时候,所有比赛过的比赛过的场次从0场到5场都有可能出现。因此,就会有5个不同的抽屉。 解:参赛的队有6个,有5个抽屉,根据抽屉原则一,无论比赛进行到什么时候,一定有两个队比赛过的场次相同。




练习:

1、一个袋里有四种不同颜色的小球,每次摸出两个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸多少次?



2 一个圆上有40条直径,在每条直径两端各填上一个数,所填数字可以从120中任意选。一定存在两条直径,两端点数字之和相等。



3、能否在88列的方格表的每一个空格中分别填上123这三个数字中的任意一个,使得每一行、每一列及对角线ACBD上的各个数字的和各不相同?对你的结论加以说明。



4、由6个队参加的单循环比赛(每两个队都要比赛一场),无论比赛进行到什么时候,一定存在两个队,这两个队比赛过的场次数相同。



3个不同的整数中一定有两个的差能被2整除; 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除; 4个不同的整数中一定有三个数的差能被3整除;

求证:任意互异的3个整数中,一定存在6个整数x1x2x3x4x5x6使得(x1x2·x3x4·x5x6)恰是105的倍数。

分析:由于105=3×7,而357两两互质,所以只要能找到两个数,比如x1x2,使得x1x27倍数,同理x3x45的倍数,x5x63的倍数,题目即得证。

解:根据抽屉原理一,在所给的任意8整数中,必有两个整数被7除的余数相同,不妨设这两个数为x1x2,则有7|x1x2),或表示为:x1x2=7k1(其中k1为不等于零的整数)。在余下的6数中,必有两个数被5除的余数相同,不妨设这两个数为x3x4,使得x3x4满足:x3x4=5k2k2为非零整数)。在余下的4个数中,必有两个整数被3除所得余数相同,不妨设这两个数为x5x6,使得x5x6=3k3k3为非零整数)。

x1x2·x3x4·x5x6 =7k1·5k2·3k3 =105×整数

即:从任意给定的互异的8个整数中,一定可以找到6个数x1x2x3x4x5x6使得(x1x2·x3x4·x5x6)是105的倍数。




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