(完整版)有理数的历史定义

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有理数的历史定义



数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。所有有理数的集合表示为Q，Q+,或

。定义如下：



有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。

有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。对应地，无理数则为“不可比数”。

但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。

明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法

可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 运算[编辑]

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下：



两个有理数和相等当且仅当有理数中存在加法和乘法的逆：



时，

古埃及分数[编辑] 主条目：古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：



对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 形式构建[编辑]

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上

的等价类，这里不为零。我们可


以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：



为了使

，定义等价关系如下：



这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：

。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的，

如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。） Q上的全序关系可以定义为：

当且仅当

1. 2.

并且并且







有理数集是可数的 集合

，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。

的一个拷贝（即存在

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含一个从

到其中的同构映射）。

的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。 所有有理数的集合是可数的，亦即是说夫数

的基数（或势）与自然数集合

相同，都是阿列

。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不

是有理数。

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