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因式分解(公式法)
知识点一：因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 知识点二：基本公式
1、(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
2、(a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； 3、(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 4、(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 5、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 6、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 知识点三：方法及典型例题
一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：
（1）x2-9； （2）9x2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：
（1）x5y3-x3y5； （2）4x3y+4x2y2+xy3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.
例3、 分解因式：
(1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4.
四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:
(1)x4-81y4; (2)16x4-72x2y2+81y4.
五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
例5、 分解因式：
（1）-x2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).
六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。
例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1).
七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。
例7、 分解因式：(x2+4)2-16x2.
随堂练习
1、多项式x2
4xy4y2
分解因式的结果是（ ） (A)(x2y)2
(B)(x2y)2 (C)(x2y)2
(D)(xy)2
2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） (A)x2
y2
(B)x22xyy2 (C)x22xyy2
(D)x2xyy2
3、 x4
1的结果为（ ）
Ａ．(x2
1)(x2
1)Ｂ．(x1)2
(x1)2
Ｃ．(x1)(x1)(x2
1)Ｄ．(x1)(x1)3
4、代数式x4
81，x2
9，x2
6x9的公因式为（ ） Ａ．x3
Ｂ．(x3)2
Ｃ．x3
Ｄ．x2
9
5、25a2
kab16a2
是一个完全平方式，那么k之值为（ ） Ａ．40
Ｂ．40
Ｃ．20
Ｄ．20
6、填空： m2
mn ( )2
． 7、利用因式分解计算
100
992
1981
． 8、 分解因式：4x2
1 ．分解因式：
a24 ．
1812612
9、（1）运用公式法计算：30121812
．（2）用简便方法计算：
80021600×7987982．10、 分解因式：（1）a2x2
16ax64
（2）16(2a3b)2
11、把下列各式分解因式．
（1）49x2； （2）4x2169y2
； （3）125a2； （4）0.01m2625n2．
12、把下列各式分解因式．
（1）a2
8a16；
（2）(a2b)2
6(a2b)9；（3）
12
x2
2xy2y2； （4）4mn4m2
n2
．
13、已知ab
112，ab8
，
求2a2b2ab3a3
b的值．
14、把下列各式分解因式．
（1）x2
6x9； （2）4x2
20x25； （3）a2b2
8abc16c2
；（4）4a22ab
14
b2
； （5）(ab)24(ab)4．
15、把下列各式分解因式． （1）(mn)
2 004
16(mn)2 003； （2）(x2y2)24x2y2． 16、
把(x1)(x3)1分解因式．
专项测试题 一、选择题
1、代数式x4－81,x2－9,x2－6x＋9的公因式为（ ）
A、x+3 B、（x+3）2 C、x－3 D、x2+9 2、若9x2－mxy＋16y2是一个完全平方式，则m=（ ）
A、12 B、24 C、±12 D、±24 3、若－
12x2axb分解成1
2
(x4)(x7)，则a、b的值为（ ） A、3或28 B、3和－28 C、－32和14 D、－3
2
和－14
4、下列变形是因式分解的是（ ）
A、x2+x－1=（x+1）（x－1）+x, B、（3a2－b2）2=9a4－6a2b2＋b4
本文来源：https://www.wddqxz.cn/48d0b7a330b765ce0508763231126edb6e1a76ca.html
2023-03-22
