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夏津一中高二数学奥赛复试试题
时间:120分钟 满分:150分
一、填空题(本大题共10个小题,每小题6分,共60分) 1.函数y4cosxcos2xxR值域是 ..
2
2.已知复数z满足z1,则zz1的最大值是 .
A
NO
C
3.如图,在⊿ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线BAB、AC于不同的两点M,N,ABmAM,ACnAN,则mn的值是 .
M
4.如果关于x的不等式xaxx1的解集是R,则实数a的取值范围是 . 5.已知正数a,b,c满足4ababc,则abc的最小值是 .
6. 已知对xR,logasinxcosx2恒成立,则实数a的取值范围是 ..7.已知A
2
BCa,b,c,d,e,ABa,b,c,
cABC,则符合上述条件的A,B,C共有 组.
8.已知函数fx,对xR,有fx1006则f2013 .
9.用五种不同颜色给三棱台ABCDEF六个顶点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方法有 .种.
12
fxf2x,f1005
A
3, 4
B
C
D
E
10.假设实数b,c满足b2c21,且fxaxbsinxccosx的图像上存在两条切线垂直,则实数a的取值范围是 ..
F
二、解答题(本大题共5个小题,前两个小题各15分,后三个小题各20分,共90分)
z11.(本小题满分15分)如图所示,
D1
C1BCD 在长方体ABCDA中,1111已知AD1,AB2,AA1c,
A1
P
B1
D
·1·
CB
y
x
A
若对角线BD1上存在一点P使得PB1PC1, 求实数c的取值范围.
x2y2
12.(本小题满分15分)已知椭圆1的
43
内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点F1,F2, 求该平行四边形面积的最大值.
13.(本小题满分20分)已知数列an的前n项和Sn满足
F1B
y
A
GO
F2
x
Sn1annN*.
⑴ 试求数列an的通项公式; ⑵ 设cn
C
D
111
,求证:列cn的前n项和Pn2n. 1an1an15
,2011}, 若M满足:其任意三个元素a,b,c,均
14.(本小题满分20分)集合M{1,2,
满足abc,则称M具有性质P,为方便起见,简记MP.具有性质P的所含元素最多的集合称为最大集.试问具有性质P的最大集共有多少个?并给出证明.
15.(本小题满分20分)如图,在锐角△ABC中,AB,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC,垂足为E,做PF⊥AB,垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证:O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
·2·
A
E
FO1B
DP
O2
C
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