最初的证明是分割型的

2022-04-14 03:40:08   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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分割,最初,证明
最初的证明是分割型的。设ab为直角三角形的直角边,c为斜边。考虑下图两个边长都a+b的正方形AB。将A分成六部分,将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出:斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的弦图

下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra826901)已经知道。(如:右图)下面的一种证法,是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积。

下图的证明方法,据说是L•芬奇(da Vinci, 14521519设计的,用的是相减全等的证明法。欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图。由于图形很美,有人称其为修士的头巾也有人称其为娘的轿椅实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,外星人去交流。其证明的梗概是:

(AC)2=2JAB=2CAD=ADKL 同理,(BC)2=KEBL 所以

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2



印度数学家兼天文学家婆什迦罗Bhaskara活跃于1150年前后)对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明。如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形;一部分为两直角边之差为边长的小正方形。容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和。事实上,

婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而 c/b=b/m c/a=a/n, cm=b2 cn=a2

两边相加得

a2+b2=c(m+n)=c2

这个证明,在十七世纪又由英国数学J.沃利斯(Wallis, 16161703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育A.林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统JA.加菲尔德(Garfield, 18311888),他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年,(当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统)给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形。不同公式,求相同的面积得




a2+2ab+b2=2ab+c2 a2+b2=c2

这种证法,在中学生学习几何时往往感兴趣。

关于这个定理,有许多巧妙的证法(据说有近400种),下面向同学们介绍几种,它们都是用拼图的方法来证明的。

证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDEACFGBCHK,它们的面积分别为c2b2a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。 CCMBD,交ABL,连接BCCE。因为 AB=AEAC=AG CAE=BAG 所以 ACE≌△AGB SAEML=SACFG (1) 同法可证

SBLMD=SBKHC (2) (1)+(2)

SABDE=SACFG+SBKHC c2=a2+b2

证法2 如图26-3(赵君卿图),用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知。 SCFGH=SABED+4×SABC 所以 a2+b2=c2

证法3 如图26-4(梅文鼎图)。

在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE在直角边AC上又作正方形ACGF可以证明(从略),延长GF必过E;延长CGK,使GK=BC=a,连结KD,作DHCFH,则DHCK是边长为a的正方形。设 五边形ACKDE的面积=S 一方面,

S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积 =c2+ab (1) 另一方面,

S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积 +2倍△ABC面积 =b2+a2+ab. (2) (1)(2) c2=a2+b2

证法4 如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CACB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略),GF的延长线必过D。延长AGK,使GK=a,又作EHGFHEKGH必为边长等于a的正方形。 设五边形EKJBD的面积为S。一方面 S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)


S=SBEFG+2•SABC+SGHFK =b2+ab+a2 (1)(2) 得出论证

都是用面积来进行验证:一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理)图见

勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学《几何原本》里。在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a 2 。于是便可得如下的式子: 4×(ab/2+b-a 2 =c 2 化简后便可得: a 2 +b 2 =c 2 亦即:c=a 2 +b 2


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