因式分解方法:提公因式法与公式法

2023-03-22 14:00:20   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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因式分解方法:提公因式法与公式法

因式分解

即和差化积,其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式,则结果唯一,因为:数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异,那么f(x)可以唯一的分解为以下形式:

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中αf(x)的最高次项的系数,P1(x),P2(x)……Pi(x)是首1互不相等的不可约多项式,并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)Ki重因式。 *)或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明:可参见《高代》P52-53

初等数学中,把多项式的分解叫因式分解,其一般步骤为:一提二套三分组等

要求为:要分到不能再分为止。 因式分解方法介绍 1、提公因式法

如果多项式各项都有公共因式,则可先考虑把公因式提出来,进行因式分解,注意要每项都必须有公因式。 15x3+10x2+5x

解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x,接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。 解:原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1)2

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2、公式法

即多项式如果满足特殊公式的结构特征,即可采用套公式法,进行多项式的因式分解,故对于一些常用的公式要求熟悉,除教材的基本公式外,数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下: a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)

说明由因式定理,即对一元多项式f(x),若f(b)=0,则一定含有一次因式x-b可判断当n为偶数时,a=b,a=-b时,均有an-bn=0an-bn中一定含有a+ba-b因式。 2分解因式:①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式

解①64x6-y12=8x3-y6(8x3+y6)

=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+…+x15=

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