高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量

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□高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量

一、必备公式

1．空间几何体的表面积与体积公式： (1)基本公式：①圆：面积S圆＝πr2， 周长C圆＝2πr；

11

②扇形：弧长l扇形＝αR， 面积S扇形＝lR＝αR2，

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(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面展开图



侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl



S圆锥侧＝πrl



S圆台侧＝π(r1＋r2)l

圆柱

周长C扇形＝l＋2R．

圆锥

圆台

(3)柱、锥、台和球的体积公式

1

②锥体(棱锥和圆锥) ：S表面积＝S侧＋S底，V锥＝Sh；

3

14

③台体(棱台和圆台) ： S表面积＝S侧＋S上＋S下，V台＝(S上＋S下＋S上S下)h； ④球：S球＝4πR2 ，V球＝πR3；

33



2．平行关系的判定及性质定理：

(1)线∥面的判定定理和性质定理 ①柱体(棱柱和圆柱)：S表面积＝S侧＋2S底，V柱＝Sh；



判定定理 性质定理

文字语言

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (简记为“线线平行⇒线面平行”) 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (简记为“线面平行⇒线线平行”)

图形语言



图形语言

符号语言

∵l∥a，a⊂α，l⊄α

∴l∥α

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b ∴l∥b

符号语言

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α ∴α∥β ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ∴a∥b

(2)面∥面的判定定理和性质定理

判定定理

文字语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (简记为“线面平行⇒面面平行”) 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行

(简记为“面面平行⇒线线平行”)



性质定理



注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行⇒线面平行”)

3．垂直关系的判定及性质定理：

(1)线⊥面的判定定理及性质定理



判定定理

文字语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (简记为“线线垂直⇒线面垂直”) 垂直于同一个平面的两条直线平行．



图形语言

符号语言

∵l⊥a，l⊥b，a、b⊂α，a∩b＝O ∴l⊥α ∵a⊥α，b⊥α ∴a∥b 符号语言

∵l⊂β，l⊥α ∴α⊥β

∵α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a ∴l⊥α

性质定理

(2)面⊥面的判定定理与性质定理



判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

(简记为“线面垂直⇒面面垂直”)

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (简记为“面面垂直⇒线面垂直”)

图形语言

性质定理



注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则垂直该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直⇒线线垂直”)

4．空间向量与立体几何的求解公式：

|a·b|

(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cos θ＝；

|a||b|

(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，

|a·n|

则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝.

|a||n|


(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，

n1·n2

则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n1，n2〉＝；

|n1|·|n2|

注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定． (4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，

→n|→|AB·→

则点B到平面α的距离为：|BO|＝，即向量BO在法向量n的方向上的投影长.

|n|



二、必备结论

1．直观图与原图的关系：

(1)作图关系：①位置：平行性、相交性不变； ②长度：平行x(z)轴的长度不变，平行y轴的长度减半.

2

(2)面积关系：S直观图′＝×S原图；

4



2．几个与球有关的内切、外接常用结论：

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：3∶1.

π

3．几种常见角的取值范围： ①异面直线成角∈(0，] ②二面角∈[0，π]

2

π

③线面角∈[0，] ④向量夹角∈[0，π] ⑤直线的倾斜角∈[0，π)

2



三、必备方法

1．三视图还原方法：提点连线法，具体步骤：①根据三视图轮廓画长方体或正方体； ②在底面画俯视图； ③综合正视图和左视图进行提点连线； ④验证与完善.

2．平行构造的常用方法： ①三角形中位线法； ②平行四边形线法； ③比例线段法. 注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角； ②平行关系的判定.

3．垂直构造的常用方法： ①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法； ③投影法.

4．用向量证明空间中的平行关系

(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.

5．用向量证明空间中的垂直关系

(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

6．点面距常用方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； ②等体积法； ③向量法



7．外接球常用方法：①将几何体补成长方体或正方体，则球直径=体对角线；

②过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球球心，找到球心即可求半径.



四、必备细节

1．证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面；

2．用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角； 3．在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二证、三求解”的原则。

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