一道多元最值问题的多视角探究

2023-05-02 00:34:12 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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一道多元最值问题的多视角探究

多元最值问题是数学中的一个经典问题，其解法涉及到多个变量同时取极值。在解决这种问题时，人们常常会采用不同的视角进行分析。本文将从几个不同的视角来探究一道多元最值问题，以便读者更全面地理解和解决这类问题。 1. 几何视角

有一位长方形园丁要用若干条木板围成一个长方形花坛，该花坛中心为点 $(0,0)$。设外侧所有木板都在第一象限中，且满足以下条件： 1. $x_1, x_2 > 0$，$y_1, y_2 > 0$； 2. $2x_1 + y_1 + y_2 = 10$； 3. $x_1 + 2x_2 + y_2 = 9$； 4. $x_1 + x_2 = 5$。

求外侧所有木板的总长度最小是多少。

从几何视角来看，这道问题可以转化为，在第一象限内，围成一个以 $(0,0)$ 为中心，面积为 $25$ 的长方形，使得外边框的总长度最小。

根据上述条件，$y_1$ 和 $y_2$ 分别为 $10 - 2x_1 - y_2$ 和 $9 - 2x_2 - x_1$。因此，边长为 $x_1$ 和 $x_2$ 的长方形的周长为 $2x_1 + (10 - 2x_1 - y_2) + (9 - 2x_2 - x_1) + x_2 = 19 - x_1 - x_2 - y_2$。又因为 $x_1 + x_2 = 5$，所以我们只需要最小化 $y_2$ 即可最小化总长度。因此，问题转化为：在第一象限内，围成一个以 $(0,0)$ 为中心，面积为 $25$ 的长方形，使得外侧与 $x$ 轴平行的边长最短。考虑将长方形旋转 $45^\circ$ 得到一个正方形。因为正方形的对角线为

$10\sqrt{2}$，所以正方形的边长为 $5\sqrt{2}$。将正方形旋转回来即得到最小长度为 $10 + 9 - 10\sqrt{2} = 19 - 10\sqrt{2}$。 2. 代数视角

由于 $\frac{8}{3} - \frac{2}{3}x_2$ 是一个关于 $x_2$ 的下降函数，最小值出现在 $x_2 = 5$ 时，此时 $x_1 = \frac{10}{3}$，$y_1=\frac{1}{3}$，$y_2=\frac{2}{3}$。总长度为 $10 + 9 - \frac{25}{3} = \frac{8}{3}$。 3. 物理视角

除了几何和代数视角之外，我们还可以从物理角度出发来解决这道多元最值问题。考虑将所有木板想象成悬挂在空中的细线，令一些力作用在这些细线上。问题转化为：找到这些力的作用方式，使得花坛的外边框最小。

在问题中，约束条件为外侧细线之和，于是可以想象这些细线组成一条悬挂在空中的链条。使得整个系统处于平衡状态，且总悬挂长度最短。

这是一个经典的力学问题，可以使用拉格朗日乘数法解决。详细过程可以参考其他资源，这里只给出结果：总长度最小为 $19 - 10\sqrt{2}$，与几何视角得到的结果相同。综上所述，多元最值问题可以从几何、代数和物理角度来解决。这种多视角的思考方式，不仅可以拓展解题思路，还可以更全面地理解问题的本质，从而对数学的其他难点问题也会有启发意义。