1995国际奥林匹克数学竞赛试题

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第十届中国数学奥林匹克 (1995)

1. 2n个实数a1, a2, ... , anb1, b2, ... , bn(n3)满足

i. ii. iii.

a1+ a2+ ... +an=b1+ b2+ ... +bn 01= a2ai+ ai+1= ai+2 (i=1, 2, ..., n-2) 01b2bi+ bi+1 bi+2 (i=1, 2, ..., n-2)

求证:an-1+ anbn-1+bn

2. N为自然数集合,fNN适合条件:f(1)=1,对于任何自然数n都有

o o

3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) ) f(2n) < 6 f(n)

试求方程f(k) +f(l)=293,其中k<l的所有解。 3. 试求



的最小值,其中xy是任意整数。

4. 空间有四个球,它们的半径分别为2233,每个球都与其余3个球外切,另有一个小球与那圆球都外切,求该小球的半径。

5. a1, a2, ... , a1010个两两不同的自然数,它们的和为1995,试求 a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最小值。 6. n是大于1的奇数,已给

。设

i=1, 2, .... , n 其中




。记

正整数m满足

,求证:mn的倍数。

k=1, 2, ...。若


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