八年级下期中考试数学知识点总结

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期中考试数学知识点总结

班级： 姓名： 十六章二次根式

【知识总结】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： a（a＞0） （1）（ a）2=a （a≥0）； （2）a2a

0 （a=0）； 5.二次根式的运算：

a（a＜

000000）

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算

术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）；

bb

a

a

（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．



十七章 勾股定理

一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

２.勾股定理的证明

ba

a

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 c

c

b

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

b

c

ca

Aa

①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙， a

b

D面积不会改变

cb

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 c

E

a常见方法如下：

B

b

C

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，

，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的

面积与小正方形面积的和为S41

abc22abc22

大正方形面积为

S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

方法三：S1b)(ab)，S11

梯形(a梯形2SADESABE2abc2222

，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方

c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角

形。

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，

b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：


n21,2n,n21（n2,n为正整数）； 2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）；

m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

７．勾股定理的应用

了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

C

CC

C



30°

A

B

B

D

A

D

A

A

BDB





十八章 平行四边形

一．正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．

（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”． 2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；

（4）面积：①S底高=ah； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． 3．平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．

（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可． （3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． 2．几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．

（2）菱形：①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2

条）．

（3）正方形：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；

③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．

3．几种特殊四边形的判定方法

（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等 （2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等．

（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形． ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形

② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形．

④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形； 4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD的四条边相等． （3）识别正方形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角． 5．几种特殊四边形的面积问题

① 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．

② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=1

2

ab． ③ 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2

；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=12

a2

． ④ 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=

1

2

(ab)h．

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