“化曲为直”解题方法的应用

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“化曲为直”解题方法的应用

作者：方凯丰

来源：《读写算》2012年第29期

关键字：化曲为直展开折叠卷筒缠绕

摘要：“化曲为直”思想是图形转化的一种重要思想，用展开、折叠、包卷及解析几何中的线段的量比关系、曲线定义进行转化是实现“化曲为直”的重要手段，此类问题有效地培养了学生的想象能力、信息迁移能力，我们要善于联想归纳，透过繁杂的表象探究其本质规律。 初中数学中常见问题：一条笔直公路的同一侧有两棵树，在公路上找一点，使该点到两棵树的距离之和最小。解决此问题，需要在公路的另一侧找某棵树的对称点，再与另一棵树连接，连线与公路的交点就是所求点。题中用到了“两点间直线段最短”的原则，巧妙应用“化曲为直”来解决问题。高中数学中也可通过折叠展开、缠绕展开及圆锥曲线定义等方法，达到“化曲为直”的效果，巧妙解决问题，下面例举了几种情况供参考。 一、折叠展开问题

在立体几何中，几何体表面上两点间的最短距离却是一条通过几个面的折线。折线和棱的交点在哪里，很难确定，直接在几何体上找，则走入了死胡同，问题无法解决。借助“化曲为直”思想，可以将侧面展开，使折线段变为直线段，再求最短距离。

例1、 正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为2，M是AA1中点，N是BC中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少？

分析：此问题的折线可以分如下两类，可分别计算、比较，得最短距离。 （1） 经过侧面AA1BB1和BB1CC1到达点N （2） 经过侧面AA1BB1和底面ABC到达点N 略解：

（1） 如上图，将三个侧面展开，AM=1，AN=3， 。

（2） 如下图，将侧面展开，翻转到底面，AM=1，AN= ，∠MAN=120°， 比较（1）、（2）两种情况，最短距离为 。 二、卷筒缠绕问题

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