例谈因式分解的方法与技巧

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例谈因式分解的方法与技巧

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 a2b24a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则a2b24a2b3=a2b24a2b41(a24a4)(b22b1) =(a2)2(b1)2(ab1)(ab3) 例2、因式分解 x36x211x6

解析：根据多项式的特点,把6x2拆成2x24x2；把11x拆成8x3x 则x36x211x6=(x32x2)(4x28x)(3x6)

=x2(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x24x3)(x1)(x2)(x3) 二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x44y4

解析：根据多项式的特点,在x44y4中添上4x2y2,4x2y2两项， 则x44y4=(x44x2y24y4)4x2y2(x22y2)2(2xy)2 =(x22xy2y2)(x22xy2y2) 例4、因式分解 x33x24

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解析：根据多项式的特点，将3x2拆成4x2x2，再添上4x,4x两项，则

x33x24=x34x24xx24x4

=x(x24x4)(x24x4)(x24x4)(x1) =(x1)(x2)2

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解(x23x4)(x2x6)24

解析：(x23x4)(x2x6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)24 =(x1)(x2)(x3)(x4)24(x2x2)(x2x12)24 设yx2x2，则x2x12y10 于是，原式=

y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x26)

=(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x8) 例6、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1)2 解析：设xym,xyn，则

(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2

=m22mnn22m2n1(mn)22(mn)1

=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)(x1)2(y1)2

2

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 mn(x2y2)xy(m2n2) 解析：将多项式展开再重新组合，分组分解

mn(x2y2)xy(m2n2)=mnx2mny2xym2xyn2

=

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