数学思维和数学思维的方法

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数学思维和数学思维的方法



数学思维和数学思维的方法

[关键词]抽象性，严密性，确定性，综合法，分析法，符号，概念

数学思维的抽象性表现在在数学思维的过程中,把思维对象某些非本质的(对数学本身来説)东西舍弃,把思维对象抽象化为一定的数量关系、空间形式或逻辑关系,然后再把这些特定的数量关系表示成为一般的符号形式。数学思维的抽象性还表现在它不仅仅停留在一次抽象的基础上,通常的数学符号形式可能经过了多次的抽象。与人类的所有思维形式相比,这种完全人为创造的数学语言,是数学思维高度抽象化的基础。

数学思维的严谨性,是指数学思维在发生、发展和表述的过程中,完全依据一种形式化的严密过程,这种过程中不容许出现一丝差错,也不允许有对与错之间的状况。正是数学思维的这种形式化的严谨性,使数学成为人类所有科学形式的最终表达手段。

数学思维具有严密的逻辑性,我们知道,排中律、同一律、矛盾律和充足理由律,是逻辑思维的基本规律,它们是客观事物和现象之间相对稳定性在思维中的反应,它是保证人们正确认识客观世界和正确表达思维的必要条件。正确的思维应该是确定的、无矛盾的、前后一贯的、论据充足的。不然的话,思维就将陷入混乱。在数学思维的过程中,如果违背了这些基本规律,就会产生逻辑错误,论证就得不到正确的结论。因此,数学思维中必须遵守逻辑思维的基本规律。 数学思维结果的确定性,是指在数学思维的过程中,其结果是唯一的。我们知道在数学领域中,每一个命题的结果都是唯一的,不可能有两种不同的结果,也就是说任何一个数学命题的结果在对与错之间二者必据其一。


数学思维的方法是数学的符号、概念、语言按照数学特定的规律、法则,运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方法论特征,又有自身的特殊形式。

宏观数学思维方法,也称基本或重大的数学思维方法,是指对整个数学领域产生重大影响的数学思维方法,如公理化思维方法、变量分析思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学的发展。 微观数学思维方法,是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的`数学思维方法,如代数学的一些思维方法、几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法还包括数学问题解决和数学问题发现的思维方法。主要包括最基本、最常用的数学思维方法:分析法、综合法、归纳法、演绎。分析法是从问题的结论开始,逐步推出已知条件或已确认成立的事实,从而断定命题成立的方法。综合法是从问题的条件开始逐步推出命题的结论的方法。演绎推理是按照严密的逻辑法则,采用由普遍到个别,由一般到特殊的推理、论证方法,归纳推理是从个别到一般的推理方法,归纳推理试图从个别的例子中得出一般的规律,采用由个别到普遍、由特殊到一般的方法进行推理论证。在归纳推理中,需要注意的是如果前提为真,结论不一定为真。通常情况下,由归纳推理得到的结论还需要用科学的数学方法进行论证。

逻辑思维方法,主要是指按照形式逻辑的方式展开数学思维方法。数学的定理、证明及理论构造都是严格按照形式逻辑的思维方式展开和构造的,可以说数学的结果都是按照形式逻辑来表现的。数学思维的非逻辑方法,是指在数学思维中应用的猜想、直觉、灵感、现象等思维方式。这些思维形式经常地、大量地出现在解决数学问题过程中。随着数学的发展,人们越来越认识到非逻辑思维方法在数学学习和数学教育中有着及其重要的作用。

数学思维的程式化方法,是指按照数学习惯的、原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题的过程中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。数学的发现性思维,又称之为创新性思维。这种思维方式的特点是它不遵守程式化的逻辑演绎的思维方式,而选择带有个人

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