因式分解的方法与技巧

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因式分解的方法与技巧



一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。 例1、因式分解 ab4a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则ab4a2b3=a2b24a2b41(a24a4)(b22b1) =(a2)2(b1)2(ab1)(ab3) 例2、因式分解 x6x11x6

解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x4x；把11x拆成8x3x 则x6x11x6=(x32x2)(4x28x)(3x6)

=x2(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x24x3)(x1)(x2)(x3)

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练习：x3-9x+8 （-x-8x）（-1+9）（9-8）

a2+b2+4a+2b+5 a2+b2+4a+2b+3 x3－3x2+4 a3+3a2+3a+2



二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x4y

解析：根据多项式的特点,在x4y中添上4xy,4xy两项， 则x4y=(x4xy4y)4xy(x2y)(2xy) =(x2xy2y)(x2xy2y) 例4、因式分解 x3x4

解析：根据多项式的特点，将3x拆成4xx，再添上4x,4x两项，则

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x33x24=x34x24xx24x4

=x(x24x4)(x24x4)(x24x4)(x1) =(x1)(x2)2 练习：3x+7x-4

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x5+x+1

x3-9x+8（添加-x2+x2）

(1)x+x+x-3； (2)(m-1)(n-1)+4mn； (3)(x+1)+(x-1)+(x-1)； (4)ab-ab+a+b+1．

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解(x3x4)(xx6)24

解析：(x3x4)(xx6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)24 =(x1)(x2)(x3)(x4)24(xx2)(xx12)24 设yxx2，则xx12y10 于是，原式=

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y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x26)

=(xx6)(xx8)(x2)(x3)(xx8) 例6、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1) 解析：设xym,xyn，则

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(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2

=m2mnn2m2n1(mn)2(mn)1

=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)(x1)2(y1)2

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