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数学归纳法中常见的错误
王晓华
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的，是高考测试内容之一。数学归纳法有其独特的固定步骤：1。证明当n为某一个值时，结论是成立的。 2。假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也是成立的。但是同学们在运用过程中常常犯错。下面我们就一些常见的错误简要分析。
一、逻辑性错误
例1：设n∈N*，求证：2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1 证明：假设当n＝k时等式成立，即
2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1 那么，当n＝k＋1时，有 2＋4＋6＋…＋2k＋2(k+1) ＝k2＋k＋1＋2(k+1) ＝(k+1)2＋(k+1)＋1
因此，对于任何n∈N*，等式都成立。
在数学归纳法的运用过程中，很多同学会忘记了第一步，数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设. 第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n≥n0时n取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n的取值,经不断地循环递推便得到对满足n≥n0的所有正整数命题都成立. 再看
例2：设n∈N*，求证：2n>n2.
证明（1）当n＝1时，21>12，不等式显然成立，
（2）假设当n＝k时不等式成立，即2k>k2， 那么当n＝k+1时有 ＋
2k1＝2·2k>k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k+1)2 这就是说，当n＝k+1时，不等式也成立。
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*，不等式都成立。
在第一步中的初始值不一定从1取起,也不一定只取一个数(有时需取n=n0,n0+1等),证明应根据具体情况而定. 二、伪数学归纳法 如下证明对吗？
11111
例3：用数学归纳法证明：＋2＋3＋＋n1()n
22222111
证明：(1)当n=1时，左边＝，右边＝1，左边＝右边，等式成立。
222
1
11111
(2) 设n＝k时，等式成立，即＋2＋3＋＋k1()k
22222
11111
则当n＝k＋1时＋2＋3＋＋kk1
22222
那么当n＝k+1时，等式成立。
根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N*，等式都成立。
11
122
11
2
k1
k1
11
2
这个不是数学归纳法证明。在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效
正解应为 111
证明：(1)当n=1时，左边＝，右边＝1，左边＝右边，等式成立。
222
1
11111
(2) 设n＝k时，等式成立，即＋2＋3＋＋k1()k
22222
11111111
则当n＝k＋1时＋2＋3＋＋kk11()kk11
22222222
k1
即当n＝k+1时，等式成立。
根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N*，等式都成立。
三、添项问题
例4:用数学归纳法证:(n+1)•(n+2)•…•(n+n)=2n•1•3•…•(2n－1) 时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为：k+1＋k+1＝2k＋2 正确答案是：
[(k1)k][(k1)(k1)]
2(2k1).
k1
在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.
另外在用n=k命题成立来证明n=k+1命题成立时,要进行适当的方法选取,譬如分析,添拆项,作差,因式分解等;要时刻注意所待证的式子,明确等式左端变形目标.
对于与正整数有关的数学命题,其中n有双重性,其既表示项的个数,又可取某一数值.同时 要注意“k+1”的相对性,有时需要实施“二级跳”或 “三级跳”等。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/440e72685a0102020740be1e650e52ea5418ce49.html
2023-04-27
