(黄冈名师)高考数学大一轮复习 核心素养提升练五十一 10.5 曲线与方程 理(含解析)新人教A版-

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核心素养提升练五十一

曲线与方程

(30分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A,B),线段CD⊥AB,且满足 |CD|=λ|AD|·|BD|(λ是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为

( )

2



A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分



D.抛物线的一部分

【解析】选B.以线段AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 设C(x,y)是运动轨迹上任一点,设|AB|=2a,

则A(-a,0),B(a,0),所以|CD|=y,λ|AD|·|BD|=λ(x+a)(a-x)=-λx+λa,所以y=-λx+λa,

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2

2

2

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2

即λx+y=λa,即

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+=1,且x≠±a,所以点C的运动轨迹为椭圆的一部分.

2.(2018·某某模拟)设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且

|AB|=5,=+(O为坐标原点),则点M的轨迹方程为 ( )

A.+=1B.+=1

C.+=1D.+=1

【解析】选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),

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由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得

由|AB|=5,得+=25,

化简得+=1.

【变式备选】(2018·某某模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为 ( )

+=1的左、右焦点,点P为椭圆

A.+=1(y≠0)

B.+y=1(y≠0)

2

C.+3y=1(y≠0)

2

D.x+

2

=1(y≠0)

【解析】选C.依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),由三角形重心坐标关系可得

即代入+=1,得重心G的轨迹方程为

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+3y=1(y≠0).

3.设点A为圆(x-1)+y=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为

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2

2

2

( )

2

2

A.y=2xB.(x-1)+y=4 C.y=-2xD.(x-1)+y=2

【解析】选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MA⊥PA,

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2

2



且|MA|=1. 又因为|PA|=1, 所以|PM|=即|PM|=2,

所以P点的轨迹方程为(x-1)+y=2.

2

2

2

=,

【变式备选】(2018·某某模拟)动圆M经过双曲线x-心M的轨迹方程是

2

2

=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆

( )

2

A.y=8x B.y=-8x C.y=4xD.y=-4x

2

2

【解析】选B.双曲线x-

2

=1的左焦点F(-2,0),动圆M经过点F且与直线x=2相切,则圆心

2

M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y=-8x.

4.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆

·

= ( )

+=1上,且满足||-||=2,则

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