不等式放缩法常用公式

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不等式放缩法常用公式

1.AM-GM不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。 2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有

$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2leq(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)$。

3. 切比雪夫不等式：对于任意的实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有

$max_i|a_i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|leqfrac{sum_{i=1}^n|a_i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|}{n}$。

4. Jensen不等式：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a_1,a_2,cdots,a_nin I$ 且 $sum_{i=1}^nalpha_i=1$，则有 $f(sum_{i=1}^nalpha_ia_i)leqsum_{i=1}^nalpha_if(a_i)$。 5. 柯西不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有

$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2leq(sum_{i=1}^na_i^2)(sum_{i=1}^nb_i^2)$。

6. 反柯西不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有

$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2geqfrac{(sum_{i=1}^na_i)^2(sum_{i=1}^nb_i)^2}{n^2}$。



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7. 平均值不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。 8. 均值不等式：设 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 为任意实数，$p>0$，则有

$(frac{a_1^p+a_2^p+cdots+a_n^p}{n}^{frac{1}{p}}geqfrac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}$。

9. 杨辉不等式：对于任意的非负正数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有

$(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)cdots(a_n^2+b_n^2)geq(frac{a_1a_2+a_2a_3+cdots+a_na_1}{n}^2+(frac{b_1b_2+b_2b_3+cdots+b_nb_1}{n}^2$。

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