正弦定理

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正弦定理

定理概述

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则有

abc

=2R.（R为三角形外接圆的半径） sinAsinBsinC

正弦定理

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形.

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形.

（3）运用a︰b︰c=sinA︰sinB︰sinC解决边角之间的转换关系， 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦. 意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系. 扩展

三角形面积公式

1.海伦-秦九韶公式: 设p=

abc

， 2

则S△ABC=ppapbpc.

解释：假设有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由以下公式求得：

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S=ppapbpc.

abc

， 2

abbcacabc

2.S△ABC=()·sinC=()·sinA=()·sinB=（R为外接圆半径）.

24R22

而公式里的p为半周长：p=

3.S△ABC=

1（h为边a上的高）

ah2

正弦定理的变形公式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c.（条件同上）

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径.已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题. (3)相关结论：

abcababc

==. sinAsinBsinCsinAsinBsinAsinBsinCabc

2R(R为外接圆半径) sinAsinBsinC

（4）设R为三角形外接圆半径，公式可扩展为：

abc

=2R,sinAsinBsinC

即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形，

A sin

a2R

b

,sinB

2R

c

. ,sinC

2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA. （5）a=

bsinAbsinA

，sinB=. sinBa

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