平行线分线段成比例定理

2023-04-08 10:02:11 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《平行线分线段成比例定理》，欢迎阅读！
线段,定理,平行线,比例
平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

定理定义

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。

如图，因为AD∥BE∥CF，所以

AB:BC=DE:EF; AB:AC=DE:DF; BC:AC=EF:DF。也可以说AB:DE=BC:EF; AB:DE=AC:DF; BC:EF=AC:DF。

上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

定理证明

设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。连结AE、BD、BF、CE

根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE

根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得: AB/BC=DE/EF

由更比性质、等比性质得:

AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF

定理推论

过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。推广:过

一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

• 证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还

未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQCF

于

又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DFN

点

，

则

AM=DE

根据比例的性，

MN=EF.∵

质:AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2:过A点作AN∥DF交BE于M点，交BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3:连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于

底的比

可得

:AB/BC=DE/EF

由

更比性

质、

等比性

质

得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF