抛物线绕原点旋转之后的方程式

2022-04-19 02:30:12   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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关于如何把二次函数图像绕原点旋转

这个玩意儿纯属无聊

故事来源:

好像是在期末复习二次函数的时候,在说二次函数图象的时候,老师问我们: “把抛物线绕远点旋转 180°的函数解析式是什么?”立刻有人回答。这时我和 旁边的朱格都想到一块去了,异口同声的叫道: 45°,哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈 ”遂大笑不止。

笑完之后我就开始思考了:对啊,把抛物线旋转 45°岂不是很有趣?我开始 想如何把抛物线旋转 45°,并借此推广至所有的角度。但是期末复习时节比较 忙。一直没去想。

之后分流考之前一天,没什么作业(不想做寒假作业) ,就想到了这个东西。 于是开始计算推导 推导过程:

抛物线旋转 45°,就是把抛物线上的每个点都绕远点旋转 45°得到的图形。 这样出来的图形肯定不是类似于 y=f(x) 的函数了,每一个 x 对应两个 y 了都, 只能用一个方程或者是参数方程来表示了。

考虑到就是把抛物线上每个点都旋转 45°,就联想到了这学期学的用矩阵表 示图形变换。

把一个图形逆时针旋转 度的变换矩阵是:

先用 y=x2试试,把抛物线上的点用矩阵表示出来就是这样: 做乘法:

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于是我们就得到了绕原点逆时针旋转 45°的抛物线的参数方程:

使用几何画板绘图验证:

饿,很成功啊,证明可以用矩阵变换的方法得到抛物线绕原点旋转之后的图形。 好了,现在开始一般化,把抛物线变成 y=ax2+bx+c 那么坐标矩阵就是:

乘胜追击:一般化后的矩阵乘法:

很长的乘法啊

由此得到一般化后的参数方程:

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再次请出强大的几何画板验证:

注: x 轴上 a,b,c,r 点横坐标分别对应抛物线系数中的 a,b,c 以及 (单位是弧度)

看起来很不错啊, 顺便再附上 t 的几何意义。 由矩阵变换易知, 旋转可以看做是 把坐标给旋转了,由此 t 就代表旋转后抛物线的横坐标。

后记:其实如果没有数学小论文这个作业的话这个玩意儿也没什么好写的, 应付 作业而已, 所以还有篇论文就不写了。 本文的东西估计随便拉个高中生都能解出 来,用极坐标表示一下就好。 对于刚学过线性代数的大学生更是不在话下, 几分 钟就好。本人无能,只能想到两个主意,只不过都比较弱智,就只写了这篇,其 它能长篇大论的想法我实在没什么主意。

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