抛物线绕原点旋转之后的方程式

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关于如何把二次函数图像绕原点旋转

这个玩意儿纯属无聊

故事来源：

好像是在期末复习二次函数的时候，在说二次函数图象的时候，老师问我们： “把抛物线绕远点旋转 180°的函数解析式是什么？”立刻有人回答。这时我和 旁边的朱格都想到一块去了，异口同声的叫道： “ 45°，哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈 哈 ”遂大笑不止。

笑完之后我就开始思考了：对啊，把抛物线旋转 45°岂不是很有趣？我开始 想如何把抛物线旋转 45°，并借此推广至所有的角度。但是期末复习时节比较 忙。一直没去想。

之后分流考之前一天，没什么作业（不想做寒假作业） ，就想到了这个东西。 于是开始计算推导 推导过程：

抛物线旋转 45°，就是把抛物线上的每个点都绕远点旋转 45°得到的图形。 这样出来的图形肯定不是类似于 y=f(x) 的函数了，每一个 x 对应两个 y 了都， 只能用一个方程或者是参数方程来表示了。

考虑到就是把抛物线上每个点都旋转 45°，就联想到了这学期学的用矩阵表 示图形变换。

把一个图形逆时针旋转 度的变换矩阵是：

先用 y=x2试试，把抛物线上的点用矩阵表示出来就是这样： 做乘法：

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于是我们就得到了绕原点逆时针旋转 45°的抛物线的参数方程：

使用几何画板绘图验证：

饿，很成功啊，证明可以用矩阵变换的方法得到抛物线绕原点旋转之后的图形。 好了，现在开始一般化，把抛物线变成 y=ax2+bx+c 那么坐标矩阵就是：

乘胜追击：一般化后的矩阵乘法：

很长的乘法啊

由此得到一般化后的参数方程：

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再次请出强大的几何画板验证：

注： x 轴上 a,b,c,r 点横坐标分别对应抛物线系数中的 a,b,c 以及 （单位是弧度）

看起来很不错啊， 顺便再附上 t 的几何意义。 由矩阵变换易知， 旋转可以看做是 把坐标给旋转了，由此 t 就代表旋转后抛物线的横坐标。

后记：其实如果没有数学小论文这个作业的话这个玩意儿也没什么好写的， 应付 作业而已， 所以还有篇论文就不写了。 本文的东西估计随便拉个高中生都能解出 来，用极坐标表示一下就好。 对于刚学过线性代数的大学生更是不在话下， 几分 钟就好。本人无能，只能想到两个主意，只不过都比较弱智，就只写了这篇，其 它能长篇大论的想法我实在没什么主意。

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