三角形内角平分线性质定理

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三角形内角平分线性质定理

三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。另一个就是斯库顿定理。 斯库顿定理

斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则 AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\

证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以

\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\ \therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\ \begin{aligned}

\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\ \therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\ \end{aligned}\\

两个式子相加，即得所证。 推论

假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\ 再由斯特瓦尔特定理，可知

AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\


而斯库顿定理

\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\ 所以

BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\

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