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3.2．2 指数运算的性质
导入新课
思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．
新知探究 提出问题
①我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？
②多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律？
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5的近似值 11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
… 2的不足近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
2
2
52的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
③你能给上述思想起个名字吗？
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如5，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向． 问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联． 问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近． 问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．
问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．
讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．
②第一个表：从大于2的方向逼近2时，5大于5于5
2
2
2
就从5
1.5,1.42,1.415,1.414 3,1.414 22
5555，…，即
的方向逼近5
2
2
.
2
第二个表：从小于2的方向逼近2时，5的方向逼近55
5
5
.
就从5
1.4,1.41,1.414,1.414 2,1.414 21
5555，…，即小
2
从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面5从55
5
1.4,1.41,1.414,1.414 2,1.414 21
5
，…，即小于5
2
2
的方向接近5
2
2
，而另一方面5
2
从
2
1.5,1.42,1.415,1.414 3,1.414 22
555，…，即大于5的方向接近5
，可以说从两个方向无限地接近5
，
即逼近5，所以5是一串有理数指数幂55555，…和另一串有理数指
1.5,1.42,1.415,1.414 3,1.414 22
数幂55555，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从
1.4,1.41,1.414,1.414 2,1.414 21
22
两个方向向表示5
2
1.4
的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是5
1.41
2
一定
1.42
是一个实数，即5＜51.5＜5.
充分表明5
2
＜5
1.414
＜5
1.414 2
＜5
1.414 21
＜…＜5
2
＜…＜5
1.414 22
＜5
1.414 3
＜5
1.415
＜5
13π
是一个实数，再如，3等都是实数．
2
③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．
④根据②③我们可以推断5是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数． ⑤无理数指数幂的意义：
α
一般地，无理数指数幂a(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．
提出问题
为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ 你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳． 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．
α
对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．
对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．
α
讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a＝－1，那么a是＋1还是－1就无法确定了，
α
这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂a是一个确定的实数，就不会再造成混乱．
(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：
rsr＋s
①a·a＝a(a＞0，r，s都是无理数)．
rsrs
②(a)＝a(a＞0，r，s都是无理数)．
rrr
③(a·b)＝ab(a＞0，b＞0，r是无理数)．
(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂． 实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质： rsr＋s
①a·a＝a(a＞0，r，s∈R)．
rsrs
②(a)＝a(a＞0，r，s∈R)．
2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/3d48898ca2116c175f0e7cd184254b35eefd1ac2.html
2023-02-13
