试谈圣彼得堡概率学派：从切比雪夫到马尔科夫

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试谈圣彼得堡概率学派：从切比雪夫到马尔科夫



斯嘉琪

（湖南大学 金融与统计学院）



摘要：

圣彼得堡概率学派对概率论的发展中有着着承上启下的地位，对极限定理的创立发挥了至关重要的作用。本文选取圣彼得堡概率学派最重要的两位人物进行介绍。切比雪夫作为学派奠基人是切比雪夫不等式与切比雪夫大数定律的提出者；马尔科夫作为学派的中坚力量推广了切比雪夫大数定律，提出了马尔科夫大数定律，并提出了马尔科夫链。本文旨在从历史背景与数学理论两方面介绍圣彼得堡概率学派与极限定理的提出背景。 关键词：概率论 圣彼得堡概率学派 切比雪夫大数定律

1 概述

概率论是一门研究随机现象数量规律的科学。其中，极限定理在概率论的发展中占有重要地位，其至今仍是概率论的重要研究方向之一。而圣彼得堡概率学派在极限定理的创立中发挥了至关重要的作用。圣彼得堡概率学派洞察了这一概率论的基础问题，对概率论中两类基础极限定理——大数定理和中心极限定理进行了较为严格的论证和最大限度的拓广，这不仅把概率论从濒临衰亡境地挽救出来并将其推进到现代化门槛，还使俄罗斯数学从极端落后的 境地走向世界前列。 本文选取圣彼得堡概率学派最重要的两位人物进行介绍。其中，切比雪夫是学派的奠基人，其创立的切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，也是概率论成为严密数学分支的标志。马尔科夫是学派的中坚力量，其秉承切比雪夫的研究风范，但不满足于切比雪夫所要求随机变量方差值一致有界之条件，于是进一步改进了切比雪夫的结果并于1907年得到了更一般的马尔可夫大数定理。

本文旨在将历史分析与理论阐述的结合介绍圣彼得堡概率学派并指出其历史地位，使读者从历史背景与数学理论两方面对概率极限定理形成更深的认识。

2 切比雪夫：学派的奠基人 2.1 硕士论文与伯努利大数定理

在1841年6月17日莫斯科大学的纪念仪式上，布拉斯曼教授作了题为“数学科学对人类智力发展的影响”的演讲，他悲观地认为在俄国无论是大学还是研究机构都对概率论这门学科重视不够。当时，切比雪夫已经完成了莫斯科大学的哲学系数学物理专业的大学课程，正在准备硕士考试。布拉斯曼的演讲对他产生了很大的影响，切比雪夫对概率论开始了研究，并选题“试论概率论中的基础分析”做硕士论文。这篇硕士论文应用初等数学工具 ，对伯努利大数定律作了精细的研究和严格的证明，并指导读者应用标准正态分布表来计算有关概率。这篇文章在当时没有产生很大的影响力，但在此基础上切比雪夫撰写出的“概率论中基本定理的初等证明”，发表在克雷尔《纯粹与应用数学杂志》上。文中给出了泊松大数定律的证明。当时，法国数学家认为概率论还是一个有争议的课题, 故在当时没有得到应有的重视。从现在来看，切比雪夫的这两篇论文都是在概率论的新方向——极限定理上迈出了重要的一步。


2.2 切比雪夫不等式

众所周知的切比雪夫不等式，确切来说应为比埃奈梅-切比雪夫不等式。1867年，切比雪夫将这篇论文同时以俄语刊登在圣彼得堡和以法语发表在刘维尔《纯粹与应用数学杂志》上。直到发表后，切比雪夫才知道比埃奈梅早在1853年就给出了相关证明。刘维尔将比埃奈梅的论文刊登在切比雪夫的论文前面。 他们当时所给的不等式如下：



其中是相互独立的，且。 这一不等式实质上为弱大数定律的一般表达式。切比雪夫所证明的是不同分布的离散型随机变量序列,比埃奈梅所证明的是独立同分布的随机变量序列。但从本质看,证明思路是相同的。 2.3 切比雪夫大数定律

第一个大数定律是伯努利提出的。伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河。1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。之后，由于概率论陷入伦理学与精密科学的争论，逐渐门庭冷落。切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。 在 1866年发表的论文《论均值》中，切比雪夫提出了著名的切比雪夫大数定律。该论文给出如下定理： 定理 若随机变量

和其平方

的均值皆不超过某给定数值，

则n个随机变量的算术平均值和其均值的算术平均值之差不小于某给定概率，而且随着随机变量个数的无限增加，其值逐渐趋于1。 其证明由切比雪夫不等式容易得出。若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等, 则为伯努利大数定律。又因相互独立的随机变量列必定两两无关, 故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。

切比雪夫大数定理表明：当随机变量的个数足够多时，其算术平均值非常“接近于”其平均值的数学期望，而这种“接近”是概率意义下的接近。



3 马尔科夫：学派的中坚力量

1874年，马尔科夫考入彼得堡大学数学系。脱离了令人感到压抑东正教传统中学后，早已显露数学才能的马尔科夫更加大放异彩。1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年系里的金质奖。两年后他完成了《关于双正定二 次型》的硕士论文，并正式给学生开课。又过了两年，他 开始考虑《关于连分数的某些应用》的博士论文，于1884年通过正式答辩。

马尔科夫从此正式在数学领域展开了工作。从他的工作来看，马尔科夫可以说是切比雪夫忠实的追随者，是圣彼得堡概率学派的中坚力量。马尔科夫不仅秉承了切比雪夫的学术风格，而且最大限度地拓展了切比雪夫相关理论的应用范围。 但马尔科夫不满足于切比雪夫大数定理所要求随机变量方差值一致有界之条件，于1907年发表论文“大数定理对相依随机变量的推广”，找到了更弱的定理条件，改进了切比雪夫的研究结果。

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