初中竞赛培优 分类讨论

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竞赛培优 分类讨论

A卷

解答题

01. x1x1。

02．解关于x的方程

mxn2xn

m

。



03．试证：内接于平行四边形的三角形的面积不大于该平行四边形面积的一半。



04．解不等式(a+bx)(c+d)＞(c+dx)(a+b)。



05．p、q为正整数，px2−qx+1985=0两根为质数，求12 p2+q的值。

1 / 306．已知一次函数，y=−x+8和反比例函数，y=

k

x

（k≠0）， ⑴k满足什么条件时这两个函数图像有两个交点？

⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB与90°角的大小。

07．当a取哪些值时，方程x2x1a有解？

08．求方程x2−2x1−4=0的实根。

09．解不等式x52x3＜1。



10．求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，并求两个方程的根。



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B卷

解答题

01. 已知实数a、b、c、k满足

abcbcaca

b

k，求k的值。

02．求证：当n是正整数时，n2+n+2没有因数5。



03．a、b、c是三个正整数且满足a+b+c=a∙b∙c，证明：a、b、c只能是1、2、3中之一个。

04．计算x2

5x6。



05．若关于x的方程x21aa有三个整数解，则a的值是多少？

2 / 306．解关于x的不等式3mx65mx



mxx12mx8。



07．关于x的方程ax2＋2(a−3)x＋(a−2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值。



08．求方程x3−y3= xy＋61的正整数解。



09．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个？

10．设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2−6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a的取值范围。



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C卷

解答题

01．设x=mn

2nx24nm，求xx2

的值。 4





02．n (n≥3)个学生围坐在一圈，依一个指定的方向顺次编为1、2、…、n号，老师按下述规则叫号：设某一次叫到第i号，则下一次被叫到的是第i号后面的第i个学生，试证：不论第一次叫到哪一号，至少有一个学生永远叫不到。



03．在△ABC中，∠B是锐角，A点在边BC上的射影为H，C点在边AB上的射影为K。当2BH2BK

BC，AB

都是整数时，试判断△ABC是什么三角形，并证明结论。

04．[x]表示不超过x的最大整数，设[x]=m，求y=11

xxx2之值。





05．a是实数，解方程xx1+a=0。

3 / 306．平面上有4个点A、B、C、D，已知AB=1，BC=9，CA=9，AD=7，求证：BD，CD中至少有一条线段的长度不是整数。



07．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=125，CD=DA=80，问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？



08．在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边均与大矩形一条边平行，求这两个小矩形的周长和的最大值。

09．在△ABC中，P为BC上任意一点，PE∥AB，PF∥AC，E、F分别在AC、AF上。若S△ABC=1，证明、S△BPF，S△PCE和S平行四边形AFPE中至少有一个不小于

49

。

10．在△ABC的边AB、BC、CA上分别取点M、K、L，求证：△AML、△BKM、△CLK中至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一。





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